Номер 398, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

398. По данным на рисунке 366 найдите $\angle BCO$, где $O$ — центр окружности.

Рис. 366

Для решения задачи проанализируем данные, представленные на рисунке.

Рассмотрим треугольник $AOC$. Поскольку точка $O$ является центром окружности, отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами этой окружности. Следовательно, $OA = OC$.

Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle OAC = \angle OCA$.

По данным на рисунке, центральный угол $\angle AOC = 140^\circ$. Исходя из этого, углы при основании треугольника $AOC$ должны быть равны:

$\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2} = \frac{180^\circ - 140^\circ}{2} = \frac{40^\circ}{2} = 20^\circ$.

Однако на рисунке также указано, что $\angle CAO = 30^\circ$. Возникает противоречие, так как угол $\angle OAC$ (он же $\angle CAO$) не может быть одновременно равен $20^\circ$ и $30^\circ$. Это свидетельствует об опечатке в условии задачи на рисунке.

Наиболее вероятной является опечатка в расположении углов: угол величиной $140^\circ$ — это, скорее всего, угол $\angle BOC$, а не $\angle AOC$. При таком предположении задача имеет единственное логичное решение.

Решим задачу, приняв, что $\angle BOC = 140^\circ$:

Рассмотрим треугольник $BOC$.

Стороны $OB$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $OB = OC$.

Следовательно, треугольник $BOC$ является равнобедренным с основанием $BC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle OBC = \angle BCO$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BOC$ справедливо равенство:

$\angle OBC + \angle BCO + \angle BOC = 180^\circ$

Подставим известные значения, учитывая, что $\angle OBC = \angle BCO$:

$\angle BCO + \angle BCO + 140^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BCO = 180^\circ - 140^\circ$

$2 \cdot \angle BCO = 40^\circ$

$\angle BCO = \frac{40^\circ}{2}$

$\angle BCO = 20^\circ$

Ответ: $20^\circ$