Номер 392, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

392. Точка O является центром окружности (рис. 364), $\angle ABC = 116^{\circ}$. Найдите $\angle CAD$.

Рис. 364

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, так как все его вершины (A, B, C, D) лежат на окружности. По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Следовательно, для углов $\angle ABC$ и $\angle ADC$ выполняется следующее равенство:

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

Из условия задачи известно, что $\angle ABC = 116^\circ$. Используя это значение, мы можем найти величину угла $\angle ADC$:

$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ$

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Отрезок AD проходит через центр окружности O, значит, AD является диаметром этой окружности. Угол $\angle ACD$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр AD. Согласно теореме, вписанный угол, опирающийся на диаметр (или на полуокружность), является прямым, то есть его величина составляет $90^\circ$.

$\angle ACD = 90^\circ$

Таким образом, треугольник $\triangle ACD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для прямоугольного треугольника $\triangle ACD$ можно записать:

$\angle CAD + \angle ADC + \angle ACD = 180^\circ$

Подставим известные нам значения углов, чтобы вычислить искомый угол $\angle CAD$:

$\angle CAD + 64^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD + 154^\circ = 180^\circ$

$\angle CAD = 180^\circ - 154^\circ$

$\angle CAD = 26^\circ$

Ответ: $26^\circ$.