Номер 389, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

389. а) В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда длиной 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до прямой, содержащей эту хорду.

б) Хорда окружности равна 24 см, расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, равно 5 см. Найдите диаметр окружности.

в) В окружности, радиус которой равен 5 см, проведены две параллельные хорды длиной 6 см и 8 см по разные стороны от центра. Найдите расстояние между хордами.

а)

Пусть O — центр окружности, а AB — данная хорда. Радиус окружности $R = OA = OB = 10$ см, а длина хорды $AB = 16$ см.
Расстояние от центра окружности до прямой, содержащей хорду, — это длина перпендикуляра OH, опущенного из центра O на хорду AB.
Рассмотрим треугольник AOB. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = R$. В равнобедренном треугольнике высота OH, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, точка H делит хорду AB пополам: $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHA. Его гипотенуза — радиус OA, а катеты — OH и AH. По теореме Пифагора:
$OA^2 = OH^2 + AH^2$
Подставим известные значения:
$10^2 = OH^2 + 8^2$
$100 = OH^2 + 64$
$OH^2 = 100 - 64 = 36$
$OH = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

б)

Пусть O — центр окружности, а AB — данная хорда. Длина хорды $AB = 24$ см. Расстояние от центра O до хорды AB равно длине перпендикуляра OH, то есть $OH = 5$ см.
Как и в предыдущей задаче, перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам. Следовательно, $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.
Рассмотрим прямоугольный треугольник OHA. Его катеты — OH и AH, а гипотенуза — радиус окружности OA (обозначим его R). По теореме Пифагора:
$R^2 = OA^2 = OH^2 + AH^2$
Подставим известные значения:
$R^2 = 5^2 + 12^2$
$R^2 = 25 + 144 = 169$
$R = \sqrt{169} = 13$ см.
Задача требует найти диаметр окружности D. Диаметр равен двум радиусам:
$D = 2R = 2 \times 13 = 26$ см.

Ответ: 26 см.

в)

Пусть O — центр окружности, радиус которой $R = 5$ см. Пусть AB и CD — две параллельные хорды, расположенные по разные стороны от центра. Длина хорды $AB = 6$ см, а длина хорды $CD = 8$ см.
Расстояние между хордами — это длина перпендикуляра, соединяющего их. Поскольку хорды параллельны, этот перпендикуляр будет проходить через центр O. Найдем расстояние от центра до каждой хорды.
1. Расстояние от центра O до хорды AB.
Пусть $OH_1$ — перпендикуляр из O к AB. $OH_1$ делит AB пополам, поэтому $AH_1 = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAH_1$. Гипотенуза $OA = R = 5$ см. По теореме Пифагора:
$OA^2 = OH_1^2 + AH_1^2$
$5^2 = OH_1^2 + 3^2$
$25 = OH_1^2 + 9$
$OH_1^2 = 16$
$OH_1 = 4$ см.
2. Расстояние от центра O до хорды CD.
Пусть $OH_2$ — перпендикуляр из O к CD. $OH_2$ делит CD пополам, поэтому $CH_2 = \frac{CD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $OCH_2$. Гипотенуза $OC = R = 5$ см. По теореме Пифагора:
$OC^2 = OH_2^2 + CH_2^2$
$5^2 = OH_2^2 + 4^2$
$25 = OH_2^2 + 16$
$OH_2^2 = 9$
$OH_2 = 3$ см.
Поскольку хорды находятся по разные стороны от центра, расстояние между ними равно сумме расстояний от центра до каждой хорды:
Расстояние = $OH_1 + OH_2 = 4 + 3 = 7$ см.

Ответ: 7 см.