Номер 395, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

395. а) Докажите, что прямой вписанный угол опирается на диаметр.

б) На окружности радиусом 9 см отмечены точки $A$, $B$ и $C$ такие, что $\angle BAC = 52^\circ$, $\angle ACB = 38^\circ$. Найдите длину хорды $AC$.

в) Вершины треугольника $ABC$ принадлежат окружности, радиус которой равен 8,5 см, $\angle A + \angle B = 90^\circ$, $AC = 8$ см. Найдите площадь треугольника $ABC$.

а)

Пусть $\angle ABC$ — вписанный в окружность угол, и пусть он является прямым, то есть $\angle ABC = 90^\circ$. По свойству вписанного угла, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. В данном случае $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$. Следовательно, градусная мера дуги $AC$ равна удвоенной мере угла $\angle ABC$:
Дуга $AC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$.

Дуга, градусная мера которой составляет $180^\circ$, является полуокружностью. Хорда, стягивающая полуокружность, проходит через центр окружности и является ее диаметром. Таким образом, хорда $AC$, на которую опирается прямой вписанный угол $\angle ABC$, является диаметром окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность. Нам даны два его угла: $\angle BAC = 52^\circ$ и $\angle ACB = 38^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол, $\angle ABC$:
$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB) = 180^\circ - (52^\circ + 38^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Так как $\angle ABC = 90^\circ$, то треугольник $ABC$ является прямоугольным. Вписанный угол является прямым тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр (согласно доказанному в пункте а)). Угол $\angle ABC$ опирается на хорду $AC$. Следовательно, хорда $AC$ является диаметром окружности. Радиус окружности по условию равен $R = 9$ см. Диаметр $D$ равен двум радиусам, поэтому длина хорды $AC$ равна:
$AC = D = 2R = 2 \cdot 9 = 18$ см.

Ответ: 18 см.

в)

Вершины треугольника $ABC$ лежат на окружности. Найдем угол $\angle C$ треугольника, зная, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$ и что по условию $\angle A + \angle B = 90^\circ$.
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$
$90^\circ + \angle C = 180^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $C$. Катетами являются стороны $AC$ и $BC$, а гипотенузой — сторона $AB$. Поскольку треугольник $ABC$ прямоугольный и вписан в окружность, его гипотенуза $AB$ является диаметром этой окружности. Радиус окружности по условию $R = 8,5$ см. Тогда диаметр (и гипотенуза $AB$) равен:
$AB = 2R = 2 \cdot 8,5 = 17$ см.

Теперь в прямоугольном треугольнике $ABC$ нам известна длина гипотенузы $AB = 17$ см и одного катета $AC = 8$ см. Найдем длину второго катета $BC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$.
$8^2 + BC^2 = 17^2$
$64 + BC^2 = 289$
$BC^2 = 289 - 64 = 225$
$BC = \sqrt{225} = 15$ см.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60$ см$^2$.

Ответ: 60 см$^2$.