Гимнастика ума, страница 183 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Гимнастика ума

На плоскости изображена окружность, ее диаметр $AB$ и точка $M$ вне окружности (рис. 368). При помощи односторонней линейки опустите перпендикуляр из точки $M$ на диаметр. (Односторонняя линейка без делений позволяет проводить только прямые линии.)

$M$.

Рис. 368

Для того чтобы опустить перпендикуляр из точки M на диаметр AB, используя только одностороннюю линейку, необходимо выполнить последовательность построений, основанную на свойствах окружности и треугольника.

Построение

1. С помощью линейки соединяем точку M с точкой A. Прямая MA пересекает окружность в другой точке, которую обозначим P.
2. Аналогично, соединяем точку M с точкой B. Прямая MB пересекает окружность в другой точке, которую обозначим Q.
3. Проводим прямую через точки A и Q.
4. Проводим прямую через точки B и P.
5. Прямые AQ и BP пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку K.
6. Проводим прямую через точки M и K.

Прямая MK является искомым перпендикуляром к диаметру AB.

Обоснование

Рассмотрим треугольник $ \triangle AMB $. Наша цель — построить его высоту, опущенную из вершины M на сторону AB.

• Угол $ \angle AQB $ — это вписанный угол, который опирается на диаметр AB. Согласно свойству, такой угол является прямым, то есть $ \angle AQB = 90^{\circ} $. Это означает, что прямая AQ перпендикулярна прямой BQ. Поскольку точки M, Q и B лежат на одной прямой (по построению), то $ AQ \perp MB $. Таким образом, AQ является высотой треугольника $ \triangle AMB $, проведенной из вершины A.
• Аналогично, угол $ \angle APB $ — это вписанный угол, опирающийся на диаметр AB, следовательно, $ \angle APB = 90^{\circ} $. Это означает, что прямая BP перпендикулярна прямой AP. Поскольку точки M, P и A лежат на одной прямой, то $ BP \perp MA $. Таким образом, BP является высотой треугольника $ \triangle AMB $, проведенной из вершины B.
• Точка K является точкой пересечения двух высот треугольника $ \triangle AMB $ (высоты AQ и высоты BP). Точка пересечения высот треугольника называется его ортоцентром. Следовательно, K — ортоцентр треугольника $ \triangle AMB $.
• Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке — ортоцентре. Это означает, что третья высота, опущенная из вершины M на сторону AB, также должна проходить через точку K.
• Следовательно, прямая MK перпендикулярна прямой AB, что и требовалось доказать.

Ответ: Чтобы построить перпендикуляр из точки M на диаметр AB, необходимо: 1) провести прямые MA и MB до пересечения с окружностью в точках P и Q; 2) провести прямые AQ и BP и найти точку их пересечения K; 3) прямая MK будет искомым перпендикуляром.