Номер 396, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

396. Хорда $AC$ окружности равна 6 см и стягивает дугу $AC$, равную $60^{\circ}$. Хорда $AB$ проходит через центр окружности. Найдите площадь треугольника $ABC$.

Пусть $O$ — центр окружности. Так как хорда $AC$ стягивает дугу в $60^\circ$, то центральный угол $\angle AOC$, опирающийся на эту дугу, также равен $60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Две его стороны, $OA$ и $OC$, являются радиусами окружности, поэтому $OA = OC = R$. Следовательно, $\triangle AOC$ — равнобедренный. Поскольку угол при вершине $\angle AOC$ равен $60^\circ$, то треугольник $\triangle AOC$ является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны: $OA = OC = AC = R$.

По условию задачи, длина хорды $AC = 6$ см. Значит, радиус окружности $R$ также равен 6 см.

Хорда $AB$ проходит через центр окружности, следовательно, $AB$ является диаметром. Длина диаметра $AB = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Угол $\angle ACB$ — это вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$. По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, он является прямым, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$ известны гипотенуза $AB = 12$ см и катет $AC = 6$ см. Найдем второй катет $BC$ по теореме Пифагора:$AB^2 = AC^2 + BC^2$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108$$BC = \sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}$ см.

Площадь прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ вычисляется как половина произведения его катетов:$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6\sqrt{3} = 3 \cdot 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $18\sqrt{3}$ см$^2$.