Номер 397, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

397. Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = BC$, а $AC$ — основание. Пусть точка $M$ является серединой основания $AC$.

Рассмотрим окружность, построенную на боковой стороне $AB$ как на диаметре. Чтобы доказать, что эта окружность проходит через точку $M$, нам нужно показать, что точка $M$ принадлежит этой окружности.

Проведём отрезок $BM$, соединяющий вершину $B$ с серединой основания $M$. По определению, $BM$ является медианой треугольника $ABC$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Это означает, что отрезок $BM$ перпендикулярен основанию $AC$.

Следовательно, угол $\angle BMA$ является прямым, то есть его мера составляет $90^\circ$:

$\angle BMA = 90^\circ$

Теперь обратимся к свойству окружности. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, всегда является прямым. Верно и обратное утверждение: если угол, опирающийся на некий отрезок, равен $90^\circ$, то вершина этого угла лежит на окружности, для которой данный отрезок является диаметром.

Поскольку угол $\angle BMA$ равен $90^\circ$ и его стороны проходят через концы отрезка $AB$, точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AB$.

Таким образом, мы доказали, что окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину его основания.

Ответ: Доказательство основано на том, что медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника ($BM$), является также его высотой. Поэтому угол между этой медианой и основанием ($\angle BMA$) прямой. По свойству окружности, любая точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на этой окружности. Следовательно, середина основания ($M$) лежит на окружности, построенной на боковой стороне ($AB$) как на диаметре.