Номер 393, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

393. Прямая MK касается окружности в точке A, $\angle BAM = 76^\circ$, AC — биссектриса угла BAK (рис. 365). Найдите $\angle ABC$.

Рис. 365

Для решения задачи воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой, а также свойствами смежных углов и биссектрисы угла.

1. Нахождение угла $\angle ACB$
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, заключенную между касательной и хордой. Угол $\angle BAM$ образован касательной $MK$ и хордой $AB$. Вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$ (заключенную между касательной и хордой), — это угол $\angle ACB$. Следовательно, $\angle ACB = \angle BAM$. По условию $\angle BAM = 76^\circ$, значит, $\angle ACB = 76^\circ$.

2. Нахождение угла $\angle BAK$
Углы $\angle BAM$ и $\angle BAK$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол $\angle MAK$, поскольку точки $M, A, K$ лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. $\angle BAK = 180^\circ - \angle BAM = 180^\circ - 76^\circ = 104^\circ$.

3. Использование свойства биссектрисы
По условию, $AC$ является биссектрисой угла $\angle BAK$. Это означает, что она делит угол $\angle BAK$ на два равных угла: $\angle BAC$ и $\angle CAK$. $\angle CAK = \angle BAC = \frac{\angle BAK}{2} = \frac{104^\circ}{2} = 52^\circ$.

4. Нахождение искомого угла $\angle ABC$
Для нахождения угла $\angle ABC$ можно использовать два способа.

Способ 1: Снова применить теорему об угле между касательной и хордой.
Угол $\angle CAK$ образован касательной $MK$ и хордой $AC$. Этот угол равен вписанному углу, который опирается на дугу $AC$, то есть углу $\angle ABC$. Следовательно, $\angle ABC = \angle CAK = 52^\circ$.

Способ 2: Через сумму углов треугольника $ABC$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $ABC$ имеем: $\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$.
Мы уже знаем, что $\angle BCA = 76^\circ$ (из шага 1) и $\angle CAB = 52^\circ$ (из шага 3). Подставим известные значения: $\angle ABC + 76^\circ + 52^\circ = 180^\circ$.
$\angle ABC + 128^\circ = 180^\circ$.
$\angle ABC = 180^\circ - 128^\circ = 52^\circ$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $52^\circ$.