Номер 388, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

388. Окружность вписана в угол $BAC$, $B$ и $C$ — точки касания прямых $AB$ и $AC$ и окружности (рис. 363). Угол $BDC$ равен $40^\circ$. Найдите величину угла $A$.

Рис. 363

Для решения данной задачи применим теорему об угле между касательной и хордой. Эта теорема гласит, что угол, образованный касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен любому вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между касательной и хордой.

Рассмотрим угол, образованный касательной AB и хордой BC. Согласно теореме, этот угол (который является внутренним углом $ \angle ABC $ треугольника ABC) равен вписанному углу $ \angle BDC $, так как они оба опираются на одну и ту же дугу BC.

По условию задачи $ \angle BDC = 40^\circ $, следовательно: $ \angle ABC = \angle BDC = 40^\circ $

Аналогично, рассмотрим угол, образованный касательной AC и хордой BC. Этот угол ($ \angle ACB $) также равен вписанному углу $ \angle BDC $, поскольку они опираются на ту же дугу BC.

Следовательно: $ \angle ACB = \angle BDC = 40^\circ $

Теперь у нас есть треугольник ABC, в котором известны два угла: $ \angle ABC = 40^\circ $ и $ \angle ACB = 40^\circ $. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Мы можем найти величину угла A ($ \angle BAC $):

$ \angle A + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ $
$ \angle A + 40^\circ + 40^\circ = 180^\circ $
$ \angle A + 80^\circ = 180^\circ $
$ \angle A = 180^\circ - 80^\circ $
$ \angle A = 100^\circ $

Ответ: $100^\circ$