Номер 383, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

383. На рисунках 360, а)–в) O — центр окружности. Найдите угол A, если:

а) $BM \perp KC$;

б) $\triangle BOC$ — равносторонний;

в) $\angle 1 + \angle 2 = 126^{\circ}$.

Рис. 360

а)

Угол $A$, то есть $\angle BAC$, является вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$, — это $\angle BOC$.

По условию, хорды $BM$ и $KC$ перпендикулярны ($BM \perp KC$). Из рисунка видно, что эти хорды являются диаметрами, так как они проходят через центр окружности $O$. Угол между перпендикулярными диаметрами равен $90^{\circ}$. Следовательно, центральный угол $\angle BOC = 90^{\circ}$.

Величина вписанного угла равна половине величины соответствующего ему центрального угла. Таким образом:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$.

Ответ: $45^{\circ}$.

б)

Угол $A$, то есть $\angle BAC$, является вписанным углом, опирающимся на дугу $BC$. Соответствующий ему центральный угол — это $\angle BOC$.

По условию, треугольник $\triangle BOC$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^{\circ}$. Следовательно, $\angle BOC = 60^{\circ}$.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу:

$\angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.

в)

В данной задаче искомый угол $A$ — это вписанный угол $\angle CAD$. Угол $\angle 2$ — это вписанный угол $\angle DBC$. Оба эти угла опираются на одну и ту же дугу $CD$, следовательно, они равны: $\angle A = \angle 2$.

Угол $\angle 1$ — это угол $\angle ODC$. Рассмотрим треугольник $\triangle ODC$. Так как $O$ — центр окружности, отрезки $OD$ и $OC$ являются радиусами, поэтому $OD = OC$. Это означает, что $\triangle ODC$ — равнобедренный треугольник, и углы при его основании равны: $\angle ODC = \angle OCD = \angle 1$.

Центральный угол $\angle COD$ также опирается на дугу $CD$. Его величина в два раза больше вписанного угла $\angle CAD$, то есть $\angle COD = 2\angle A$.

Сумма углов в треугольнике $\triangle ODC$ равна $180^{\circ}$:

$\angle COD + \angle ODC + \angle OCD = 180^{\circ}$

Подставим известные нам соотношения:

$2\angle A + \angle 1 + \angle 1 = 180^{\circ}$

$2(\angle A + \angle 1) = 180^{\circ}$

$\angle A + \angle 1 = 90^{\circ}$

По условию задачи дано, что $\angle 1 + \angle 2 = 126^{\circ}$. Так как мы установили, что $\angle A = \angle 2$, условие можно переписать в виде $\angle 1 + \angle A = 126^{\circ}$.

Таким образом, мы получили противоречие: из геометрических свойств следует, что $\angle A + \angle 1 = 90^{\circ}$, а из условия задачи — что $\angle A + \angle 1 = 126^{\circ}$. Это означает, что в условии задачи содержится ошибка.

Предположим, что в условии имеется опечатка, и вместо угла $\angle 2$ должен был быть указан центральный угол $\angle COD$. То есть, условие должно было читаться как $\angle 1 + \angle COD = 126^{\circ}$. При таком предположении задача имеет решение.

Используем выведенные ранее соотношения:

$\angle 1 = 90^{\circ} - \angle A$

$\angle COD = 2\angle A$

Подставим их в исправленное условие:

$(90^{\circ} - \angle A) + 2\angle A = 126^{\circ}$

$90^{\circ} + \angle A = 126^{\circ}$

$\angle A = 126^{\circ} - 90^{\circ}$

$\angle A = 36^{\circ}$

Ответ: $36^{\circ}$ (при условии исправления опечатки в условии задачи).