Номер 379, страница 173 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

379. Даны две окружности, расположенные внешним образом $(d > R + r)$.

При помощи циркуля и линейки постройте:

a) их общую внешнюю касательную;

б) их общую внутреннюю касательную.

Пусть даны две окружности: одна с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$, другая с центром в точке $O_2$ и радиусом $r$. Для определённости будем считать, что $R > r$. Метод построения основан на сведении задачи к построению касательной из точки к окружности.

Алгоритм построения:

1. Соединяем центры окружностей $O_1$ и $O_2$ отрезком.
2. Строим вспомогательную окружность с центром в точке $O_1$ (центр большей окружности) и радиусом, равным разности радиусов данных окружностей, то есть $R_{aux} = R - r$.
3. Из точки $O_2$ строим касательную к этой вспомогательной окружности. Для этого:
   1. Находим точку $M$ — середину отрезка $O_1O_2$.
   2. Строим окружность с центром в точке $M$ и радиусом $MO_1$ (или $MO_2$).
   3. Эта окружность пересечет вспомогательную окружность (с радиусом $R-r$) в двух точках. Обозначим одну из них буквой $K$.
4. Проводим луч из центра $O_1$ через точку $K$. Точка пересечения этого луча с исходной окружностью (с радиусом $R$) является точкой касания $T_1$.
5. Через точку $O_2$ проводим прямую, параллельную радиусу $O_1T_1$. Эта прямая пересечет вторую окружность (с радиусом $r$) в искомой точке касания $T_2$. Важно выбрать ту из двух точек пересечения, чтобы радиус $O_2T_2$ был направлен в ту же сторону от линии центров $O_1O_2$, что и радиус $O_1T_1$.
6. Проводим прямую через точки $T_1$ и $T_2$.

Ответ: Построенная прямая $T_1T_2$ является искомой общей внешней касательной. Вторая внешняя касательная строится аналогично, используя вторую точку пересечения на шаге 3.iii.

Для построения общей внутренней касательной используется похожий метод со вспомогательной окружностью.

Алгоритм построения:

1. Соединяем центры окружностей $O_1$ и $O_2$ отрезком.
2. Строим вспомогательную окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом, равным сумме радиусов данных окружностей, то есть $R_{aux} = R + r$.
3. Из точки $O_2$ строим касательную к этой вспомогательной окружности. Для этого:
   1. Находим точку $M$ — середину отрезка $O_1O_2$.
   2. Строим окружность с центром в точке $M$ и радиусом $MO_1$.
   3. Эта окружность пересечет вспомогательную окружность (с радиусом $R+r$) в двух точках. Обозначим одну из них буквой $K$.
4. Проводим отрезок $O_1K$. Точка пересечения этого отрезка с исходной окружностью (с радиусом $R$) является точкой касания $T_1$.
5. Через точку $O_2$ проводим прямую, параллельную радиусу $O_1T_1$. Эта прямая пересечет вторую окружность (с радиусом $r$) в искомой точке касания $T_2$. В этом случае нужно выбрать ту точку пересечения, чтобы радиус $O_2T_2$ был направлен в противоположную сторону от линии центров $O_1O_2$ по сравнению с радиусом $O_1T_1$.
6. Проводим прямую через точки $T_1$ и $T_2$.

Ответ: Построенная прямая $T_1T_2$ является искомой общей внутренней касательной. Вторая внутренняя касательная строится аналогично, используя вторую точку пересечения на шаге 3.iii.