Номер 373, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

373. Даны две касающиеся внешним образом окружности (рис. 344). Радиус меньшей окружности равен 4 см. Длина отрезка $AB$ общей внешней касательной, где $A$ и $B$ — точки касания, равна 12 см. Найдите радиус большей окружности.

Рис. 344

Обозначим центры большей и меньшей окружностей как $O_1$ и $O_2$ соответственно. Пусть их радиусы равны $R$ и $r$. Согласно условию задачи, радиус меньшей окружности $r = 4$ см, а длина отрезка общей внешней касательной $AB = 12$ см. Нам необходимо найти радиус большей окружности $R$.

1. Проведем радиусы $O_1A$ и $O_2B$ к точкам касания $A$ и $B$. По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Следовательно, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Из этого следует, что $O_1A \parallel O_2B$, а четырехугольник $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A=R$ и $O_2B=r=4$ см и высотой $AB=12$ см.

2. Для решения задачи построим прямоугольный треугольник. Проведем из центра меньшей окружности $O_2$ отрезок $O_2C$ параллельно касательной $AB$ до пересечения с радиусом $O_1A$. Точка $C$ будет лежать на отрезке $O_1A$. Полученный четырехугольник $ABO_2C$ является прямоугольником, так как его противоположные стороны параллельны ($AB \parallel CO_2$, $AC \parallel BO_2$) и углы $\angle CAB$ и $\angle O_2BA$ — прямые. Следовательно, длины противоположных сторон равны: $CO_2 = AB = 12$ см и $AC = O_2B = r = 4$ см.

3. Рассмотрим треугольник $O_1CO_2$. Он является прямоугольным, так как $O_2C \parallel AB$ и $AB \perp O_1A$, значит $O_2C \perp O_1A$. Найдем длины его сторон:

• Гипотенуза $O_1O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = R + r = R + 4$.
• Катет $O_2C$. Как мы установили, его длина равна длине отрезка $AB$: $O_2C = 12$ см.
• Катет $O_1C$. Его длина равна разности радиусов: $O_1C = O_1A - AC = R - r = R - 4$.

4. Применим к прямоугольному треугольнику $O_1CO_2$ теорему Пифагора, согласно которой сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: $O_1C^2 + O_2C^2 = O_1O_2^2$.

Подставим в это уравнение выражения для длин сторон:

$(R - 4)^2 + 12^2 = (R + 4)^2$

Теперь решим полученное уравнение. Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и квадрат суммы):

$R^2 - 2 \cdot R \cdot 4 + 4^2 + 144 = R^2 + 2 \cdot R \cdot 4 + 4^2$

$R^2 - 8R + 16 + 144 = R^2 + 8R + 16$

Сократим одинаковые слагаемые ($R^2$ и $16$) в обеих частях уравнения:

$-8R + 144 = 8R$

Перенесем слагаемые, содержащие $R$, в одну сторону:

$144 = 8R + 8R$

$144 = 16R$

Найдем $R$:

$R = \frac{144}{16}$

$R = 9$

Таким образом, радиус большей окружности составляет 9 см.

Ответ: 9 см.