Номер 369, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

369. Три окружности с центрами $O_1$, $O_2$, $O_3$ и радиусами, равными 2 см, 4 см и 6 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите площадь треугольника $O_1O_2O_3$.

Вершинами треугольника $O_1O_2O_3$ являются центры трех попарно касающихся окружностей. Так как окружности касаются друг друга внешним образом, расстояние между центрами любых двух окружностей равно сумме их радиусов.

Даны радиусы окружностей: $r_1 = 2$ см, $r_2 = 4$ см, $r_3 = 6$ см.

Найдем длины сторон треугольника $O_1O_2O_3$:

• Сторона $O_1O_2$ равна сумме радиусов первой и второй окружностей: $O_1O_2 = r_1 + r_2 = 2 + 4 = 6$ см.
• Сторона $O_2O_3$ равна сумме радиусов второй и третьей окружностей: $O_2O_3 = r_2 + r_3 = 4 + 6 = 10$ см.
• Сторона $O_1O_3$ равна сумме радиусов первой и третьей окружностей: $O_1O_3 = r_1 + r_3 = 2 + 6 = 8$ см.

Таким образом, мы имеем треугольник со сторонами $a = 6$ см, $b = 10$ см и $c = 8$ см. Для нахождения площади этого треугольника воспользуемся формулой Герона: $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p$ — полупериметр треугольника.

Сначала вычислим полупериметр $p$:

$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+10+8}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Теперь подставим значения в формулу Герона:

$S = \sqrt{12(12-6)(12-10)(12-8)} = \sqrt{12 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{576} = 24$ см$^2$.

Также можно заметить, что для сторон треугольника выполняется теорема Пифагора: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Это означает, что треугольник $O_1O_2O_3$ является прямоугольным с катетами $O_1O_2 = 6$ см и $O_1O_3 = 8$ см. Его площадь можно вычислить как половину произведения катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ см$^2$.

Ответ: 24 см$^2$.