Номер 376, страница 173 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

376. Даны две окружности с радиусами 9 см и 4 см. Третья окружность касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной $a$. Найдите радиус этой окружности. Рассмотрите все варианты.

Пусть радиус первой окружности $R_1 = 9$ см, а второй $R_2 = 4$ см. Обозначим искомый радиус третьей окружности как $r$. Все три окружности касаются общей внешней касательной $a$.

Для решения задачи воспользуемся свойством отрезков общей касательной. Длина отрезка общей внешней касательной, заключенного между точками касания двух касающихся внешним образом окружностей с радиусами $r_a$ и $r_b$, вычисляется по формуле $L = 2\sqrt{r_a r_b}$.

Докажем это. Проведем через центр меньшей окружности прямую, параллельную касательной. Она отсечет на радиусе большей окружности отрезок, равный радиусу меньшей. В результате образуется прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна сумме радиусов ($r_a+r_b$), один катет равен разности радиусов ($r_a-r_b$), а второй катет — это и есть искомый отрезок касательной $L$. По теореме Пифагора: $L^2 + (r_a-r_b)^2 = (r_a+r_b)^2$. Отсюда $L^2 = (r_a+r_b)^2 - (r_a-r_b)^2 = (r_a^2+2r_ar_b+r_b^2) - (r_a^2-2r_ar_b+r_b^2) = 4r_ar_b$, и, следовательно, $L = 2\sqrt{r_a r_b}$.

Для того чтобы задача имела конкретное численное решение, необходимо зафиксировать расстояние между первыми двумя окружностями. Будем считать, что две данные окружности также касаются друг друга внешним образом. Это стандартное допущение для задач такого типа.

Пусть $A_1, A_2, A_3$ — точки касания окружностей с радиусами $R_1, R_2, r$ соответственно с прямой $a$. Длины отрезков касательной между этими точками будут:

• $L_{12}$ (между первой и второй окружностями): $L_{12} = 2\sqrt{R_1 R_2} = 2\sqrt{9 \cdot 4} = 2\sqrt{36} = 12$ см.
• $L_{13}$ (между первой и третьей окружностями): $L_{13} = 2\sqrt{R_1 r} = 2\sqrt{9r} = 6\sqrt{r}$.
• $L_{23}$ (между второй и третьей окружностями): $L_{23} = 2\sqrt{R_2 r} = 2\sqrt{4r} = 4\sqrt{r}$.

Существует два возможных варианта расположения третьей окружности.

Вариант 1: Третья окружность находится между двумя данными окружностями

В этом случае точка касания $A_3$ лежит на отрезке $A_1A_2$. Это означает, что длина всего отрезка равна сумме длин его частей: $L_{12} = L_{13} + L_{23}$.

Подставим вычисленные значения:

$12 = 6\sqrt{r} + 4\sqrt{r}$

$12 = 10\sqrt{r}$

$\sqrt{r} = \frac{12}{10} = 1,2$

$r = (1,2)^2 = 1,44$ см.

Ответ: 1,44 см.

Вариант 2: Одна из данных окружностей находится между двумя другими

В этом случае точка касания одной из данных окружностей ($A_1$ или $A_2$) лежит между точками касания двух других. Например, точка $A_2$ лежит на отрезке $A_1A_3$. Тогда выполняется соотношение $L_{13} = L_{12} + L_{23}$, или $L_{12} = L_{13} - L_{23}$. Если же $A_1$ лежит на отрезке $A_2A_3$, то $L_{12} = L_{23} - L_{13}$. Оба случая можно объединить уравнением $L_{12} = |L_{13} - L_{23}|$.

Подставим значения:

$12 = |6\sqrt{r} - 4\sqrt{r}|$

$12 = |2\sqrt{r}|$

Поскольку радиус $r$ не может быть отрицательным, $\sqrt{r}$ также неотрицательно, поэтому модуль можно опустить.

$12 = 2\sqrt{r}$

$\sqrt{r} = \frac{12}{2} = 6$

$r = 6^2 = 36$ см.

Ответ: 36 см.