Номер 375, страница 173 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

375. Прямая $AB$ — общая внешняя касательная двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$, которые касаются внешним образом (рис. 346), $A$ и $B$ — точки касания прямой $AB$ и окружностей, точка $F$ — середина отрезка $AB$, $\angle O_1O_2F = 37^\circ$. Найдите $\angle FO_1O_2$.

Рис. 346

По свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $O_1A \perp AB$ и $O_2B \perp AB$. Поскольку два отрезка ($O_1A$ и $O_2B$) перпендикулярны одной и той же прямой (AB), они параллельны друг другу: $O_1A \parallel O_2B$. Это означает, что четырехугольник $ABO_2O_1$ является прямоугольной трапецией с основаниями $O_1A$ и $O_2B$ и прямыми углами при вершинах A и B.

Выполним дополнительное построение. Продлим отрезок $O_2F$ до его пересечения с прямой $O_1A$. Обозначим точку пересечения как K.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle KAF$ и $\triangle O_2BF$.
1. $\angle KAF = \angle O_2BF = 90^{\circ}$ (углы прямоугольной трапеции).
2. $AF = FB$ (по условию задачи F — середина отрезка AB).
3. $\angle AFK = \angle BFO_2$ (как вертикальные углы).
Следовательно, треугольники $\triangle KAF$ и $\triangle O_2BF$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $KF = O_2F$ и $KA = O_2B$. Пусть радиус первой окружности равен $r_1$ ($O_1A = r_1$), а второй — $r_2$ ($O_2B = r_2$). Тогда $KA = r_2$.

Рассмотрим треугольник $\triangle KO_1O_2$. Найдем длины его сторон.
Сторона $KO_1$ состоит из двух отрезков: $KA$ и $AO_1$. Ее длина равна $KO_1 = KA + AO_1 = r_2 + r_1$.
Сторона $O_1O_2$ — это расстояние между центрами двух окружностей, касающихся внешним образом. Оно равно сумме их радиусов: $O_1O_2 = r_1 + r_2$.

Поскольку $KO_1 = O_1O_2$, треугольник $\triangle KO_1O_2$ является равнобедренным с основанием $KO_2$. Мы уже доказали, что $KF = O_2F$, значит, точка F является серединой основания $KO_2$. Отрезок $O_1F$ соединяет вершину $O_1$ с серединой противолежащей стороны $KO_2$, следовательно, $O_1F$ — медиана треугольника $\triangle KO_1O_2$.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Отсюда следует, что $O_1F \perp KO_2$, а значит, угол $\angle O_1FO_2$ — прямой: $\angle O_1FO_2 = 90^{\circ}$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle FO_1O_2$, рассмотрев треугольник $\triangle O_1FO_2$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$.
$\angle FO_1O_2 + \angle O_1O_2F + \angle O_1FO_2 = 180^{\circ}$
Из условия нам известно, что $\angle O_1O_2F = 37^{\circ}$. Мы доказали, что $\angle O_1FO_2 = 90^{\circ}$.
$\angle FO_1O_2 + 37^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$
$\angle FO_1O_2 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 37^{\circ}$
$\angle FO_1O_2 = 53^{\circ}$

Ответ: $53^{\circ}$.