Номер 374, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

374. Две окружности касаются внешним образом в точке K (рис. 345). Прямая AB — их общая внешняя касательная, где A и B — точки касания. Прямая KM — общая внутренняя касательная этих окружностей. Докажите, что:

а) $KM = \frac{1}{2}AB$;

б) $\angle AKB = 90^\circ$.

Рис. 345

a)

Рассмотрим касательные к большей окружности (с центром $O_1$), проведенные из точки M. Это отрезки MA и MK. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, их длины равны. Следовательно, $MA = MK$.

Аналогично, рассмотрим касательные к меньшей окружности (с центром $O_2$), проведенные из той же точки M. Это отрезки MB и MK. По тому же свойству, $MB = MK$.

Из полученных равенств $MA = MK$ и $MB = MK$ следует, что все три отрезка равны между собой: $MA = MB = MK$.

Поскольку точка M лежит на отрезке AB, длина отрезка AB равна сумме длин отрезков AM и MB: $AB = AM + MB$.

Так как $AM = MK$ и $MB = MK$, мы можем подставить эти значения в равенство для AB:

$AB = MK + MK = 2 \cdot MK$

Из этого равенства выразим KM:

$KM = \frac{1}{2}AB$

Ответ: Доказано, что $KM = \frac{1}{2}AB$.

б)

Рассмотрим треугольник AKB. В пункте a) мы установили, что $MA = MB = MK$.

Так как $MA = MB$, точка M является серединой отрезка AB. Следовательно, отрезок KM является медианой треугольника AKB, проведенной к стороне AB.

Мы также доказали, что длина этой медианы $KM$ равна половине длины стороны AB ($KM = \frac{1}{2}AB$).

Существует свойство прямоугольного треугольника (и обратное ему утверждение): если медиана, проведенная к одной из сторон треугольника, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, равен 90°.

В треугольнике AKB медиана KM равна половине стороны AB, следовательно, угол $\angle AKB$, лежащий напротив стороны AB, является прямым.

Таким образом, $\angle AKB = 90°$.

Альтернативное доказательство:

В треугольнике AMK, поскольку $AM = MK$ (доказано в п. a)), он является равнобедренным. Следовательно, углы при его основании AK равны: $\angle MKA = \angle MAK$. Обозначим величину этих углов как $\alpha$.

Аналогично, в треугольнике BMK, поскольку $BM = MK$, он также является равнобедренным. Углы при его основании BK равны: $\angle MKB = \angle MBK$. Обозначим величину этих углов как $\beta$.

Угол $\angle AKB$ является суммой углов $\angle MKA$ и $\angle MKB$. Таким образом, $\angle AKB = \alpha + \beta$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике AKB:

$\angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180°$

Подставим наши обозначения углов ($\angle KAB = \alpha$, $\angle KBA = \beta$, $\angle AKB = \alpha + \beta$):

$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180°$

$2\alpha + 2\beta = 180°$

$2(\alpha + \beta) = 180°$

$\alpha + \beta = 90°$

Поскольку $\angle AKB = \alpha + \beta$, то $\angle AKB = 90°$.

Ответ: Доказано, что $\angle AKB = 90°$.