Номер 377, страница 173 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

377. Прямая $MN$ — общая внутренняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 5 см, $M$ и $N$ — точки касания (рис. 347). Расстояние между центрами окружностей равно 10 см. Найдите длину отрезка $MN$.

Рис. 347

Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, а $r_1$ и $r_2$ — их радиусы. Согласно условию задачи:

• Радиус первой окружности (с точкой касания M) $r_1 = O_1M = 3$ см.
• Радиус второй окружности (с точкой касания N) $r_2 = O_2N = 5$ см.
• Расстояние между центрами $O_1O_2 = 10$ см.

Прямая $MN$ является общей внутренней касательной.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $O_1M \perp MN$ и $O_2N \perp MN$. Из этого следует, что отрезки $O_1M$ и $O_2N$ параллельны друг другу.

Выполним дополнительное построение. Из центра $O_1$ проведем прямую, параллельную отрезку $MN$, до ее пересечения с продолжением радиуса $O_2N$ в некоторой точке $K$.

Рассмотрим получившийся четырехугольник $MNKO_1$. В нем:

• $MN \parallel O_1K$ по построению.
• $O_1M \parallel NK$, так как оба эти отрезка перпендикулярны прямой $MN$.
• Угол $\angle O_1MN = 90^\circ$.

Следовательно, четырехугольник $MNKO_1$ является прямоугольником. Отсюда следует, что $MN = O_1K$ и $NK = O_1M = r_1 = 3$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $\Delta O_1KO_2$. Так как $O_1K \parallel MN$ и $O_2K \perp MN$, то $O_1K \perp O_2K$. Значит, треугольник $\Delta O_1KO_2$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $K$.

Найдем длины его сторон:

• Гипотенуза $O_1O_2$ по условию равна 10 см.
• Катет $O_1K$ равен искомой длине $MN$.
• Катет $O_2K$ состоит из двух отрезков: $O_2N$ и $NK$. Его длина равна сумме радиусов двух окружностей: $O_2K = O_2N + NK = r_2 + r_1 = 5 + 3 = 8$ см.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $\Delta O_1KO_2$: $O_1O_2^2 = O_1K^2 + O_2K^2$

Подставим известные значения и выразим $O_1K$, которое равно $MN$: $10^2 = MN^2 + 8^2$
$100 = MN^2 + 64$
$MN^2 = 100 - 64$
$MN^2 = 36$
$MN = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.