Номер 380, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

380. Нарисуйте окружность, изобразите центральный угол $AOB$ и вписанный угол $AKB$, опирающиеся на ту же дугу, если центральный угол равен:

а) $60^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $120^\circ$;

г) $270^\circ$.

Запишите, сколько градусов содержит в каждом случае вписанный угол и соответствующая дуга.

Для решения задачи воспользуемся свойствами центральных и вписанных углов окружности. Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Таким образом, если центральный угол $\angle{AOB}$ и вписанный угол $\angle{AKB}$ опираются на одну и ту же дугу AB, то градусная мера дуги AB равна $\angle{AOB}$, а вписанный угол $\angle{AKB}$ равен половине центрального угла: $\angle{AKB} = \frac{1}{2} \angle{AOB}$.

а)

Если центральный угол $\angle{AOB} = 60^\circ$.
Градусная мера соответствующей дуги AB равна градусной мере центрального угла: $\text{дуга AB} = 60^\circ$.
Градусная мера вписанного угла $\angle{AKB}$ равна половине градусной меры дуги AB: $\angle{AKB} = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ$.
Ответ: соответствующая дуга равна $60^\circ$, вписанный угол равен $30^\circ$.

б)

Если центральный угол $\angle{AOB} = 90^\circ$.
Градусная мера соответствующей дуги AB: $\text{дуга AB} = 90^\circ$.
Градусная мера вписанного угла $\angle{AKB}$: $\angle{AKB} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.
Ответ: соответствующая дуга равна $90^\circ$, вписанный угол равен $45^\circ$.

в)

Если центральный угол $\angle{AOB} = 120^\circ$.
Градусная мера соответствующей дуги AB: $\text{дуга AB} = 120^\circ$.
Градусная мера вписанного угла $\angle{AKB}$: $\angle{AKB} = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ$.
Ответ: соответствующая дуга равна $120^\circ$, вписанный угол равен $60^\circ$.

г)

Если центральный угол $\angle{AOB} = 270^\circ$.
Градусная мера соответствующей (большей) дуги AB: $\text{дуга AB} = 270^\circ$.
Градусная мера вписанного угла $\angle{AKB}$, опирающегося на эту большую дугу, равна: $\angle{AKB} = \frac{1}{2} \cdot 270^\circ = 135^\circ$.
Ответ: соответствующая дуга равна $270^\circ$, вписанный угол равен $135^\circ$.