Номер 378, страница 173 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

378. Даны радиусы $R$ и $r$ двух окружностей. При помощи циркуля и линейки постройте:

a) две окружности с радиусами $R$ и $r$, касающиеся друг друга внешним образом;

б) две окружности с радиусами $R$ и $r$, касающиеся друг друга внутренним образом.

а) две окружности с радиусами R и r, касающиеся друг друга внешним образом;

Две окружности касаются друг друга внешним образом, если расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Пусть центры окружностей – $O_1$ и $O_2$, а их радиусы – $R$ и $r$ соответственно. Тогда расстояние между центрами должно быть равно $O_1O_2 = R + r$. Точка касания будет лежать на отрезке, соединяющем центры окружностей.

Алгоритм построения:

1. Провести произвольную прямую $l$ с помощью линейки.
2. Выбрать на прямой $l$ произвольную точку $O_1$. Это будет центр первой окружности.
3. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$.
4. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках. Выбрать одну из них и обозначить ее $A$. Эта точка будет точкой касания.
5. Для нахождения центра второй окружности $O_2$ необходимо отложить на прямой $l$ от точки $A$ отрезок, равный $r$, в направлении "от $O_1$". Для этого установить раствор циркуля равным $r$, поместить острие в точку $A$ и провести дугу, которая пересечет прямую $l$ в точке $O_2$ (отличной от $O_1$).
6. Расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ будет равно $O_1O_2 = O_1A + AO_2 = R + r$.
7. Построить вторую окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом $r$.

Таким образом, построенные окружности с центрами в $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R$ и $r$ касаются друг друга внешним образом в точке $A$.

Ответ: Построение выполнено.

б) две окружности с радиусами R и r, касающиеся друг друга внутренним образом.

Две окружности касаются друг друга внутренним образом, если расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов. Предположим, что $R > r$. Пусть центры окружностей – $O_1$ и $O_2$, а их радиусы – $R$ и $r$ соответственно. Тогда расстояние между центрами должно быть равно $O_1O_2 = R - r$. При этом центры обеих окружностей и точка касания лежат на одной прямой.

Алгоритм построения (при условии $R>r$):

1. Провести произвольную прямую $l$ с помощью линейки.
2. Выбрать на прямой $l$ произвольную точку $O_1$. Это будет центр большей окружности.
3. С помощью циркуля построить окружность с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$.
4. Эта окружность пересечет прямую $l$ в двух точках. Выбрать одну из них и обозначить ее $A$. Эта точка будет точкой касания.
5. Центр второй, меньшей, окружности $O_2$ должен лежать на радиусе $O_1A$. Чтобы найти $O_2$, нужно отложить от точки $A$ по направлению к центру $O_1$ отрезок, равный $r$. Для этого установить раствор циркуля равным $r$, поместить острие в точку $A$ и провести дугу, которая пересечет отрезок $O_1A$ в точке $O_2$.
6. Расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ будет равно $O_1O_2 = O_1A - O_2A = R - r$.
7. Построить вторую окружность с центром в точке $O_2$ и радиусом $r$.

Таким образом, построенные окружности с центрами в $O_1$ и $O_2$ и радиусами $R$ и $r$ касаются друг друга внутренним образом в точке $A$.

Ответ: Построение выполнено.