Номер 381, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

381. По данным на рисунках 359, а)—в) найдите градусную меру угла или дуги, которые обозначены знаком вопроса (O — центр окружности).

а) $130^\circ$

$150^\circ$

?

?

б) $50^\circ$

?

?

в) $32^\circ$

?

Рис. 359

а) Сумма градусных мер дуг, составляющих полную окружность, равна $360^\circ$. В данном случае окружность состоит из трех дуг: AB, BC и AC. По условию, градусная мера дуги AB равна $130^\circ$, а дуги BC — $150^\circ$. Чтобы найти градусную меру дуги AC, отмеченную знаком вопроса, вычтем из $360^\circ$ сумму мер известных дуг:
$∪AC = 360^\circ - ∪AB - ∪BC = 360^\circ - 130^\circ - 150^\circ = 80^\circ$.
Угол ABC, также отмеченный знаком вопроса, является вписанным углом. Его величина равна половине градусной меры дуги AC, на которую он опирается.
$∠ABC = \frac{1}{2} ∪AC = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = 40^\circ$.
Ответ: градусная мера дуги AC равна $80^\circ$, градусная мера угла ABC равна $40^\circ$.

б) Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, и его величина по условию равна $50^\circ$. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, вдвое больше величины этого угла. Следовательно, градусная мера дуги AC (отмечена знаком вопроса) равна:
$∪AC = 2 \cdot ∠ABC = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.
Отрезок AB является диаметром, так как проходит через центр окружности O. Диаметр делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Дуга ACB является полуокружностью и состоит из дуг AC и BC. Значит, их суммарная мера равна $180^\circ$. Найдем градусную меру дуги BC (отмечена знаком вопроса):
$∪BC = 180^\circ - ∪AC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: градусная мера дуги AC равна $100^\circ$, градусная мера дуги BC равна $80^\circ$.

в) Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB, который на нее опирается. Рассмотрим треугольник AOB. Так как OA и OB являются радиусами одной и той же окружности, то $OA = OB$. Это означает, что треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию $∠OAB = 32^\circ$, следовательно, $∠OBA$ также равен $32^\circ$.
Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Найдем величину угла AOB:
$∠AOB = 180^\circ - (∠OAB + ∠OBA) = 180^\circ - (32^\circ + 32^\circ) = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ$.
Таким образом, градусная мера дуги AB, отмеченная знаком вопроса, равна центральному углу $∠AOB$: $116^\circ$.
Ответ: градусная мера дуги AB равна $116^\circ$.