Номер 384, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

384. Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности и являются вершинами равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $AC$ и углом при вершине, равным $78^\circ$. Найдите градусные меры дуг $AB$, $BC$ и $AC$, которые заключены внутри углов треугольника $ABC$.

По условию задачи, точки A, B и C лежат на окружности и являются вершинами равнобедренного треугольника ABC с основанием AC. Угол при вершине $\angle ABC$ равен $78^\circ$.

Для нахождения градусных мер дуг воспользуемся свойством вписанных углов: градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Следовательно, градусная мера дуги в два раза больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на эту дугу.

Сначала найдем величины углов при основании треугольника. Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, его углы при основании равны: $\angle BAC = \angle ACB$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$.

$\angle BAC + \angle ACB + \angle ABC = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BAC + 78^\circ = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 180^\circ - 78^\circ$

$2 \cdot \angle BAC = 102^\circ$

$\angle BAC = 51^\circ$

Таким образом, $\angle BAC = \angle ACB = 51^\circ$.

Теперь, зная все углы треугольника, можем найти градусные меры соответствующих дуг.

AB

Градусная мера дуги AB равна удвоенной величине вписанного угла $\angle ACB$, который на нее опирается.

$\text{Дуга } AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 51^\circ = 102^\circ$.

Ответ: $102^\circ$.

BC

Градусная мера дуги BC равна удвоенной величине вписанного угла $\angle BAC$, который на нее опирается.

$\text{Дуга } BC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 51^\circ = 102^\circ$.

Также можно отметить, что поскольку треугольник равнобедренный со сторонами $AB = BC$, то и хорды AB и BC равны, а значит, они стягивают равные дуги, что подтверждает результат.

Ответ: $102^\circ$.

AC

Градусная мера дуги AC равна удвоенной величине вписанного угла $\angle ABC$, который на нее опирается.

$\text{Дуга } AC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$.

Ответ: $156^\circ$.