Номер 391, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

391. Дана окружность с центром $O$ и радиусом $R$ и вписанный в нее угол $ABC$. Найдите площадь треугольника $AOC$, если:

а) $\angle ABC = 30^{\circ}$, $R = 4$ см;

б) $\angle ABC = 45^{\circ}$, $AC = 8\sqrt{2}$ см.

а)

По условию, дан вписанный угол $\angle ABC$. Угол $\angle AOC$ является центральным углом, опирающимся на ту же дугу $AC$, что и вписанный угол $\angle ABC$. По свойству центрального и вписанного углов, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
Следовательно, $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 30^{\circ} = 60^{\circ}$.
Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как его стороны $OA$ и $OC$ — это радиусы окружности, то есть $OA = OC = R = 4$ см.
Площадь треугольника можно найти по формуле: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Применим эту формулу для треугольника $AOC$:
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R \cdot \sin(\angle AOC) = \frac{1}{2} R^2 \sin(\angle AOC)$.
Подставим известные значения:
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin(60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см².
Ответ: $4\sqrt{3}$ см².

б)

Аналогично пункту а), найдем центральный угол $\angle AOC$:
$\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.
Треугольник $AOC$ является равнобедренным ($OA = OC = R$) и, так как угол между равными сторонами равен $90^{\circ}$, он является прямоугольным.
Мы можем найти радиус $R$, используя теорему Пифагора для треугольника $AOC$:
$OA^2 + OC^2 = AC^2$
$R^2 + R^2 = (8\sqrt{2})^2$
$2R^2 = 64 \cdot 2$
$2R^2 = 128$
$R^2 = 64$ см².
Площадь прямоугольного треугольника $AOC$ равна половине произведения его катетов $OA$ и $OC$:
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} R^2$.
Подставим найденное значение $R^2$:
$S_{AOC} = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32$ см².
Ответ: 32 см².