Номер 394, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

394. Окружность касается стороны $AC$ треугольника $ABC$ в точке $K$, проходит через его вершину $B$ и пересекает стороны $AB$ и $BC$ соответственно в точках $M$ и $N$, $\angle CKN = 40^\circ$, $\angle AKM = 60^\circ$, $\angle A = 50^\circ$. Найдите $\angle C$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой об угле между касательной и хордой. Угол между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, отсекаемую этой хордой.

По условию, прямая $AC$ является касательной к окружности в точке $K$. Точки $M, B, N, K$ лежат на этой окружности.

Применение теоремы к хорде $KM$
Угол между касательной $AC$ (а именно, лучом $KA$) и хордой $KM$ равен $\angle AKM$. Согласно теореме, этот угол равен вписанному углу, который опирается на хорду $KM$ в альтернативном сегменте. Таким углом является $\angle KBM$.
Следовательно, $\angle KBM = \angle AKM$.
Из условия задачи известно, что $\angle AKM = 60^{\circ}$, значит, $\angle KBM = 60^{\circ}$.
Так как точка $M$ лежит на стороне $AB$ треугольника, то $\angle KBA = \angle KBM = 60^{\circ}$.

Применение теоремы к хорде $KN$
Аналогично, угол между касательной $AC$ (а именно, лучом $KC$) и хордой $KN$ равен $\angle CKN$. Этот угол равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $KN$, то есть углу $\angle KBN$.
Следовательно, $\angle KBN = \angle CKN$.
Из условия известно, что $\angle CKN = 40^{\circ}$, значит, $\angle KBN = 40^{\circ}$.
Так как точка $N$ лежит на стороне $BC$ треугольника, то $\angle KBC = \angle KBN = 40^{\circ}$.

Нахождение угла $\angle B$ треугольника $ABC$
Угол $\angle B$ треугольника $ABC$ (то есть $\angle ABC$) состоит из двух углов: $\angle KBA$ и $\angle KBC$, поскольку луч $KB$ проходит внутри угла $\angle ABC$.
$\angle B = \angle ABC = \angle KBA + \angle KBC$
Подставим найденные значения:
$\angle B = 60^{\circ} + 40^{\circ} = 100^{\circ}$.

Нахождение искомого угла $\angle C$
Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^{\circ}$:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
Из условия нам известно, что $\angle A = 50^{\circ}$. Мы вычислили, что $\angle B = 100^{\circ}$.
$50^{\circ} + 100^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$150^{\circ} + \angle C = 180^{\circ}$
$\angle C = 180^{\circ} - 150^{\circ}$
$\angle C = 30^{\circ}$.

Ответ: $30^{\circ}$.