Номер 399, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

399. В окружности проведены три произвольные хорды $AB$, $BC$ и $CD$ (рис. 367). Точки $K$, $N$ и $M$ — соответственно середины данных хорд. Докажите, что $\angle BKN = \angle CMN$.

Рис. 367

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, точка $K$ является серединой хорды (стороны) $AB$, а точка $N$ — серединой хорды (стороны) $BC$. Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. Таким образом, $KN$ — средняя линия треугольника $ABC$.

По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне треугольника. В данном случае, $KN \parallel AC$.

Рассмотрим параллельные прямые $KN$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle BKN$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами. Следовательно, они равны: $\angle BKN = \angle BAC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По условию, точка $N$ — середина хорды $BC$, а точка $M$ — середина хорды $CD$. Следовательно, отрезок $NM$ является средней линией треугольника $BCD$.

По свойству средней линии, $NM \parallel BD$.

Рассмотрим параллельные прямые $NM$ и $BD$ и секущую $CD$. Углы $\angle CMN$ и $\angle CDB$ являются соответственными углами. Следовательно, они равны: $\angle CMN = \angle CDB$.

3. Углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ являются вписанными углами в окружность. Оба эти угла опираются на одну и ту же дугу $BC$.

По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Таким образом, $\angle BAC = \angle BDC$.

4. Сопоставим полученные равенства:

• $\angle BKN = \angle BAC$
• $\angle CMN = \angle CDB$
• $\angle BAC = \angle BDC$

Из этих равенств следует, что $\angle BKN = \angle CMN$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle BKN = \angle CMN$ доказано на основе свойств средней линии треугольника и свойства вписанных углов, опирающихся на одну дугу.