Номер 403, страница 187 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

403. Из точки $M$, лежащей вне окружности, к этой окружности проведены касательные $MA$ и $MB$. Точки касания $A$ и $B$ делят окружность на две дуги, градусные меры которых относятся как $3 : 7$. Найдите $\angle AMB$.

Пусть точки касания $A$ и $B$ делят окружность на две дуги: меньшую дугу (обозначим её $◡AB_{м}$) и большую дугу (обозначим её $◡AB_{б}$).

Согласно условию, градусные меры этих дуг относятся как $3:7$. Вся окружность составляет $360°$. Пусть градусная мера меньшей дуги равна $3x$, а большей — $7x$. Тогда их сумма равна градусной мере всей окружности:

$3x + 7x = 360°$

$10x = 360°$

$x = \frac{360°}{10} = 36°$

Теперь мы можем найти градусные меры каждой из дуг:

Градусная мера меньшей дуги $◡AB_{м} = 3x = 3 \cdot 36° = 108°$.

Градусная мера большей дуги $◡AB_{б} = 7x = 7 \cdot 36° = 252°$.

Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точки ($M$) к окружности, равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между точками касания ($A$ и $B$).

Формула для нахождения искомого угла $\angle AMB$ выглядит следующим образом:

$\angle AMB = \frac{1}{2} (◡AB_{б} - ◡AB_{м})$

Подставим найденные значения градусных мер дуг в эту формулу:

$\angle AMB = \frac{1}{2} (252° - 108°)$

$\angle AMB = \frac{1}{2} (144°)$

$\angle AMB = 72°$

Ответ: 72°.