Номер 407, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

407. По данным на рисунке 378 найдите $\alpha - \beta$.

Рис. 378

Рассмотрим четырехугольник BCKM. Так как все его вершины (B, C, K, M) лежат на одной окружности, он является вписанным в окружность.

По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle BKC$ и $\angle BMC$ оба опираются на дугу BC. Следовательно, $\angle BKC = \angle BMC$.

Согласно обозначениям на рисунке, $\alpha = \angle BKC$. Таким образом, мы можем заключить, что $\alpha = \angle BMC$.

Теперь рассмотрим треугольник AMC. Угол $\angle BMC$ является для него внешним углом при вершине M. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BMC = \angle MAC + \angle MCA$

Из условия задачи и данных на рисунке нам известно:

1. Угол $\angle MAC$ совпадает с углом $\angle A$ треугольника ABC, то есть $\angle MAC = 52^\circ$.

2. Угол $\angle MCA$ — это угол, обозначенный как $\beta$. Так как точки A, K, C лежат на одной прямой, то $\angle MCA = \angle KCM = \beta$.

Подставим известные значения в формулу для внешнего угла:

$\angle BMC = 52^\circ + \beta$

Так как мы ранее установили, что $\alpha = \angle BMC$, заменим $\angle BMC$ на $\alpha$:

$\alpha = 52^\circ + \beta$

Для нахождения разности $\alpha - \beta$ перенесем $\beta$ в левую часть уравнения:

$\alpha - \beta = 52^\circ$

Ответ: $52^\circ$