Номер 411, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

411. На рисунке 382 точка $O$ — центр окружности, $\angle BAC = 20^\circ, AD = OC$. Найдите $\angle C$.

Рис. 382

Обозначим радиус окружности как $R$. Поскольку точка O — центр окружности, а точки C и D лежат на окружности, отрезки OC и OD являются радиусами, то есть $OC = OD = R$.

По условию задачи дано, что $AD = OC$. Из этого следует, что $AD = R$.

Рассмотрим треугольник $AOD$. В этом треугольнике две стороны равны: $AD = R$ и $OD = R$. Следовательно, треугольник $AOD$ является равнобедренным с основанием $AO$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике $AOD$ углами при основании $AO$ являются $∠OAD$ и $∠AOD$. Однако, свойство равнобедренного треугольника гласит, что углы, противолежащие равным сторонам, равны. В треугольнике $AOD$ стороне $OD$ противолежит угол $∠OAD$, а стороне $AD$ противолежит угол $∠AOD$. Так как $AD = OD$, то и противолежащие им углы равны:

$∠AOD = ∠OAD$

По условию $∠BAC = 20°$, что то же самое, что и $∠OAD = 20°$. Следовательно, $∠AOD = 20°$.

Точки A, O, C лежат на одной прямой, значит, угол $∠AOC$ является развернутым и его величина составляет $180°$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $∠AOD$ и $∠DOC$.

$∠AOC = ∠AOD + ∠DOC = 180°$

Подставим известное значение $∠AOD = 20°$:

$20° + ∠DOC = 180°$

$∠DOC = 180° - 20° = 160°$

Теперь рассмотрим треугольник $ODC$. В нем стороны $OD$ и $OC$ равны как радиусы окружности ($OD = OC = R$). Следовательно, треугольник $ODC$ является равнобедренным с основанием $DC$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Искомый угол $∠C$ (или $∠OCD$) и угол $∠ODC$ являются углами при основании треугольника $ODC$, поэтому они равны.

$∠OCD = ∠ODC$

Сумма углов в треугольнике $ODC$ равна $180°$.

$∠DOC + ∠OCD + ∠ODC = 180°$

Подставим известные значения и обозначим $∠OCD$ как $x$:

$160° + x + x = 180°$

$2x = 180° - 160°$

$2x = 20°$

$x = 10°$

Таким образом, искомый угол $∠C$ равен $10°$.

Ответ: $10°$.