Номер 418, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

418. AB — диаметр окружности (рис. 394, с. 192), $AB \perp CD$, $KB = 4$ см, $KD = 6$ см. Найдите радиус окружности.

Рис. 394

По условию задачи, диаметр $AB$ перпендикулярен хорде $CD$. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам в точке их пересечения $K$. Следовательно, $CK = KD$. Так как нам дано, что $KD = 6$ см, то и $CK = 6$ см.

Для нахождения радиуса воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, произведения отрезков пересекающихся хорд равны. В нашем случае хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$. Таким образом, мы можем записать: $AK \cdot KB = CK \cdot KD$

Подставим известные значения в эту формулу: $AK \cdot 4 = 6 \cdot 6$ $AK \cdot 4 = 36$ $AK = \frac{36}{4}$ $AK = 9$ см.

Теперь мы можем найти длину всего диаметра $AB$, который состоит из отрезков $AK$ и $KB$: $AB = AK + KB = 9 + 4 = 13$ см.

Радиус окружности $R$ равен половине ее диаметра: $R = \frac{AB}{2} = \frac{13}{2} = 6,5$ см.

Альтернативное решение (через теорему Пифагора):

Пусть $R$ — радиус окружности. Тогда радиус $OD = R$. Центр окружности $O$ лежит на диаметре $AB$. Радиус $OB$ также равен $R$. Отрезок $OK$ можно выразить через радиус и известный отрезок $KB$: $OK = OB - KB = R - 4$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OKD$. Угол $\angle OKD = 90^\circ$, так как по условию $AB \perp CD$. Катеты этого треугольника — $OK$ и $KD$, а гипотенуза — $OD$. По теореме Пифагора: $OK^2 + KD^2 = OD^2$.

Подставим наши выражения и значения в уравнение: $(R - 4)^2 + 6^2 = R^2$ $R^2 - 8R + 16 + 36 = R^2$ $R^2 - 8R + 52 = R^2$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения: $-8R + 52 = 0$ $8R = 52$ $R = \frac{52}{8} = \frac{13}{2} = 6,5$ см.

Ответ: 6,5 см.