Номер 421, страница 192 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

421. На рисунке 396 окружность касается стороны $AC$ треугольника $ABC$ в точке $N$ и проходит через его вершину $B$. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $AK = 3$ см, $AN = 6$ см, $NC = 8$ см, $CM = 4$ см.

Рис. 396

Для нахождения периметра треугольника $ABC$ необходимо найти длины всех его сторон: $AB$, $BC$ и $AC$. Периметр вычисляется по формуле $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Для нахождения длин сторон $AB$ и $BC$ воспользуемся свойством касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Рассмотрим точку $A$. Из нее к окружности проведены касательная $AN$ и секущая $AB$. По свойству касательной и секущей имеем:

$AN^2 = AK \cdot AB$

Подставим известные значения из условия задачи: $AN = 6$ см и $AK = 3$ см.

$6^2 = 3 \cdot AB$

$36 = 3 \cdot AB$

$AB = \frac{36}{3} = 12$ см.

Теперь рассмотрим точку $C$. Из нее к окружности проведены касательная $CN$ и секущая $CB$. По тому же свойству:

$CN^2 = CM \cdot CB$

Подставим известные значения: $CN = 8$ см и $CM = 4$ см.

$8^2 = 4 \cdot CB$

$64 = 4 \cdot CB$

$CB = \frac{64}{4} = 16$ см.

Длину стороны $AC$ найдем как сумму длин отрезков $AN$ и $NC$:

$AC = AN + NC = 6 + 8 = 14$ см.

Наконец, вычислим периметр треугольника $ABC$, сложив длины всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 12 + 16 + 14 = 42$ см.

Ответ: 42 см.