Номер 2, страница 196 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Задание 2

а) На бумаге изобразите круг радиусом 10 см. Вырежьте из круга сектор с центральным углом в 120°. Сверните этот сектор в конус. Скрепите края бумаги скотчем. Определите примерный радиус $R$ основания этого конуса и его высоту $H$.

б) Найдите объем конуса, используя формулу
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \pi R^2 \cdot H$.
Переверните конус вершиной вниз и насыпьте доверху в полученную воронку сахар. Пересыпьте сахар в цилиндрический стакан с делениями. Определите по делениям объем сахара, учитывая, что 1 мл = 1 см³. Сравните объем конуса, полученный двумя разными способами.

а)

Для определения радиуса основания $R$ и высоты $H$ конуса, полученного из сектора круга, выполним следующие шаги:

1. Радиус исходного круга, равный 10 см, становится образующей $l$ конуса. Таким образом, $l = 10$ см.

2. Длина дуги сектора, который сворачивают в конус, становится длиной окружности основания конуса. Найдем длину дуги сектора с радиусом $r = 10$ см и центральным углом $\alpha = 120°$:

$L_{дуги} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r = \frac{120°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot 20\pi = \frac{20\pi}{3}$ см.

3. Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C_{осн} = 2\pi R$. Приравняем ее к длине дуги:

$2\pi R = \frac{20\pi}{3}$

Отсюда находим радиус основания конуса $R$:

$R = \frac{20\pi}{3 \cdot 2\pi} = \frac{10}{3}$ см.

Приблизительное значение радиуса: $R \approx 3,33$ см.

4. Высоту конуса $H$ можно найти по теореме Пифагора, так как высота, радиус основания и образующая образуют прямоугольный треугольник, где $l$ является гипотенузой:

$l^2 = R^2 + H^2$

Выразим высоту $H$:

$H = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{10^2 - \left(\frac{10}{3}\right)^2} = \sqrt{100 - \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{900 - 100}{9}} = \sqrt{\frac{800}{9}}$

$H = \frac{\sqrt{400 \cdot 2}}{3} = \frac{20\sqrt{2}}{3}$ см.

Приблизительное значение высоты (считая $\sqrt{2} \approx 1,414$): $H \approx \frac{20 \cdot 1,414}{3} \approx \frac{28,28}{3} \approx 9,43$ см.

Ответ: Примерный радиус основания конуса $R \approx 3,33$ см, а его высота $H \approx 9,43$ см.

б)

1. Расчетный способ. Найдем объем конуса по формуле $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$, используя точные значения для $R$ и $H$ из пункта а):

$V = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{10}{3}\right)^2 \left(\frac{20\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{100}{9} \cdot \frac{20\sqrt{2}}{3} = \frac{2000\pi\sqrt{2}}{81}$ см³.

Вычислим приближенное значение объема (считая $\pi \approx 3,1416$ и $\sqrt{2} \approx 1,4142$):

$V \approx \frac{2000 \cdot 3,1416 \cdot 1,4142}{81} \approx \frac{8885,7}{81} \approx 109,7$ см³.

2. Экспериментальный способ. Согласно заданию, нужно наполнить коническую воронку сахаром и пересыпать его в цилиндрический стакан с делениями (мензурку). Объем сахара определяется по шкале на стакане. Так как 1 мл = 1 см³, значение объема в миллилитрах будет численно равно объему в кубических сантиметрах.

3. Сравнение результатов. Теоретически рассчитанный объем конуса составляет примерно 109,7 см³. Объем, измеренный экспериментально, должен быть близок к этому значению. Любые расхождения между расчетным и экспериментальным значениями можно объяснить практическими факторами: неточностью при вырезании сектора и склеивании конуса, погрешностью измерительного прибора, а также различной плотностью укладки сахара.

Ответ: Расчетный объем конуса равен $V = \frac{2000\pi\sqrt{2}}{81} \approx 109,7$ см³. Объем, полученный экспериментальным путем, должен быть близок к этому значению.