Номер 2, страница 198 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

2. Найдите $\angle 1$, если:

а) $\cup AK = 60^{\circ}$;

б) $\cup AK = 56^{\circ}$;

в) $\cup AKB = 260^{\circ}$.

а)

На рисунке а) из точки М к окружности с центром О проведены касательные МА и МВ. Линия, соединяющая точку М с центром окружности О, является биссектрисой угла $∠АМВ$. Точка К лежит на отрезке ОМ, поэтому $∠1 = ∠КМВ = \frac{1}{2}∠АМВ$. Также $∠КМВ = ∠АМО$.

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $ОА \perp МА$. Это означает, что треугольник $ОАМ$ — прямоугольный с прямым углом $∠ОАМ = 90°$.

Центральный угол $∠АОМ$ опирается на дугу $АК$. Величина центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. По условию $◡АК = 60°$, следовательно, $∠АОМ = 60°$.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90°$. Для $△ОАМ$ имеем:

$∠АМО + ∠АОМ = 90°$

Отсюда можем найти $∠АМО$:

$∠АМО = 90° - ∠АОМ = 90° - 60° = 30°$

Так как $∠1 = ∠АМО$, то $∠1 = 30°$.

Ответ: $30°$.

б)

Для решения данного пункта используем ту же геометрическую конфигурацию и логику, что и в пункте а).

В прямоугольном треугольнике $ОАМ$ ($∠ОАМ = 90°$) центральный угол $∠АОМ$ равен дуге $АК$. По условию $◡АК = 56°$, значит, $∠АОМ = 56°$.

Найдём угол $∠АМО$ из суммы острых углов прямоугольного треугольника:

$∠АМО = 90° - ∠АОМ = 90° - 56° = 34°$

Поскольку $ОМ$ является биссектрисой угла $∠АМВ$, то $∠1 = ∠АМО$.

Следовательно, $∠1 = 34°$.

Ответ: $34°$.

в)

В этом пункте используется та же конфигурация, что и в предыдущих. По условию, градусная мера большей дуги $АКВ$ равна $260°$. Дуга $АКВ$ — это большая дуга, соединяющая точки касания А и В.

Полная окружность составляет $360°$. Найдём градусную меру меньшей дуги $АВ$:

$◡АВ = 360° - ◡АКВ = 360° - 260° = 100°$

Так как линия $ОМ$ является осью симметрии для касательных $МА$ и $МВ$, она делит дугу $АВ$ пополам в точке К. Таким образом, градусная мера дуги $АК$ составляет половину градусной меры дуги $АВ$:

$◡АК = \frac{1}{2} ◡АВ = \frac{100°}{2} = 50°$

Теперь задача решается аналогично предыдущим пунктам. В прямоугольном треугольнике $ОАМ$ центральный угол $∠АОМ$ равен дуге $АК$, то есть $∠АОМ = 50°$.

Находим угол $∠АМО$:

$∠АМО = 90° - ∠АОМ = 90° - 50° = 40°$

Так как $∠1 = ∠АМО$, то $∠1 = 40°$.

Ответ: $40°$.