Номер 4, страница 198 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

4. Заполните пропуск.

a) $AK/BK = DK/...$

б) $CK/BK = AK/...$

в) $DK \cdot KB = AK \cdot ...$

Для решения этой задачи мы будем использовать свойство подобных треугольников, образованных пересекающимися хордами в окружности.

а)

Рассмотрим треугольники $ \triangle AKB $ и $ \triangle DKC $, образованные пересекающимися хордами $AC$ и $BD$ в точке $K$.

1. Угол $ \angle AKB $ равен углу $ \angle DKC $ как вертикальные углы.

2. Угол $ \angle CAB $ (или $ \angle KAB $) равен углу $ \angle CDB $ (или $ \angle KDC $), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $BC$.

3. Угол $ \angle ABD $ (или $ \angle KBA $) равен углу $ \angle ACD $ (или $ \angle KCD $), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$.

Следовательно, треугольники $ \triangle AKB $ и $ \triangle DKC $ подобны по трем углам ($ \triangle AKB \sim \triangle DKC $).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{DC} $

Нам нужно заполнить пропуск в выражении $ \frac{AK}{BK} = \frac{DK}{...} $. Возьмем первую часть пропорции $ \frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} $. Используя свойство пропорции (можно поменять местами средние члены), получим:

$ \frac{AK}{BK} = \frac{DK}{CK} $

Таким образом, пропущенный отрезок - это $CK$.

Ответ: $ \frac{AK}{BK} = \frac{DK}{CK} $

б)

Рассмотрим треугольники $ \triangle AKC $ и $ \triangle DKB $, образованные пересекающимися хордами $AB$ и $CD$ в точке $K$.

1. Угол $ \angle AKC $ равен углу $ \angle DKB $ как вертикальные углы.

2. Угол $ \angle CAD $ (или $ \angle KAC $) равен углу $ \angle CBD $ (или $ \angle KBD $), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CD$. Однако на рисунке б) хорды это $AB$ и $CD$. Значит, угол $ \angle CAB $ (или $ \angle KAC $) равен углу $ \angle CDB $ (или $ \angle KDB $), так как они опираются на дугу $CB$.

3. Угол $ \angle ACD $ (или $ \angle KCA $) равен углу $ \angle ABD $ (или $ \angle KBD $), так как это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD$.

Следовательно, треугольники $ \triangle AKC $ и $ \triangle DKB $ подобны по трем углам ($ \triangle AKC \sim \triangle DKB $).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$ \frac{CK}{BK} = \frac{AK}{DK} = \frac{AC}{DB} $

Нам нужно заполнить пропуск в выражении $ \frac{CK}{BK} = \frac{AK}{...} $. Из полученной пропорции напрямую следует:

$ \frac{CK}{BK} = \frac{AK}{DK} $

Таким образом, пропущенный отрезок - это $DK$.

Ответ: $ \frac{CK}{BK} = \frac{AK}{DK} $

в)

Это задание является прямым применением теоремы о пересекающихся хордах (также известной как теорема о произведении отрезков хорд). Теорема гласит: если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

В данном случае хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$.

Согласно теореме, мы можем записать равенство:

$ AK \cdot KC = DK \cdot KB $

Нам дано выражение $ DK \cdot KB = AK \cdot ... $.

Сравнивая его с формулой из теоремы, видим, что на месте пропуска должен стоять отрезок $KC$.

Этот результат также можно получить из подобия треугольников, как и в предыдущих пунктах. Например, из подобия $ \triangle AKB \sim \triangle DKC $ (как в пункте а) для соответствующей конфигурации) мы получили пропорцию $ \frac{AK}{DK} = \frac{KB}{KC} $. Применив основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $ AK \cdot KC = DK \cdot KB $.

Ответ: $ DK \cdot KB = AK \cdot KC $