Номер 1, страница 196 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

Моделирование

Задание 1

a) Возьмите прямоугольную полоску бумаги размером $10 \times 20$ см и сверните ее в цилиндр. Скрепите края бумаги скотчем. Определите примерный радиус основания этого цилиндра. Вырежьте два круга найденного радиуса и закрепите их в местах оснований цилиндра.

б) Найдите приближенную площадь полной поверхности цилиндра. Используйте формулу площади круга $S = \pi R^2$ и значение $\pi \approx 3,14$.

а) Чтобы сделать цилиндр из прямоугольной полоски бумаги, нужно свернуть ее. При этом одна сторона прямоугольника станет высотой цилиндра $h$, а другая — длиной окружности его основания $C$. В задаче не указано, какую сторону как использовать, поэтому возможно два варианта. Предположим, что высота цилиндра равна меньшей стороне прямоугольника, то есть $h = 10$ см, а длина окружности основания равна большей стороне, $C = 20$ см.

Длина окружности связана с ее радиусом $R$ формулой $C = 2 \pi R$. Мы можем найти радиус из этой формулы: $R = \frac{C}{2\pi}$

Подставим значения $C=20$ см и $\pi \approx 3,14$: $R = \frac{20}{2 \times 3,14} = \frac{20}{6,28} \approx 3,1847... \text{ см}$

Округлив до сотых, получим примерный радиус.

Ответ: Примерный радиус основания цилиндра равен 3,18 см.

б) Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади двух оснований ($2 \times S_{осн}$). $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$

Площадь боковой поверхности — это площадь исходного прямоугольника: $S_{бок} = 10 \text{ см} \times 20 \text{ см} = 200 \text{ см}^2$

Площадь одного основания (круга) находится по формуле $S_{осн} = \pi R^2$. Мы используем радиус, найденный в пункте а). Для большей точности вычислений лучше использовать не округленное значение радиуса ($R = \frac{10}{\pi}$), а подставить его в формулу площади. $S_{осн} = \pi \left(\frac{10}{\pi}\right)^2 = \pi \frac{100}{\pi^2} = \frac{100}{\pi}$

Тогда площадь двух оснований равна: $2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot \frac{100}{\pi} = \frac{200}{\pi}$

Подставим значение $\pi \approx 3,14$: $2 \cdot S_{осн} \approx \frac{200}{3,14} \approx 63,69 \text{ см}^2$

Теперь найдем площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} \approx 200 + 63,69 = 263,69 \text{ см}^2$

Ответ: Приближенная площадь полной поверхности цилиндра составляет 263,69 см².