Номер 422, страница 192 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

422. На рисунке 397 $AC$ — касательная к малой окружности, $C$ — точка касания, $AD = 2$ см, $DB = 16$ см. Найдите длину отрезка $AC$.

Рис. 397

Для решения данной задачи воспользуемся свойством степени точки относительно окружности и понятием радикальной оси двух окружностей.

1. Степень точки относительно окружности

Степень точки A относительно окружности — это величина, которая не зависит от того, какая секущая проведена из этой точки.

• Если из точки A проведена касательная AC к окружности (где C — точка касания), то степень точки A относительно этой окружности равна квадрату длины касательной: $P(A) = AC^2$.
• Если из точки A проведена секущая, пересекающая окружность в точках D и B, то степень точки A равна произведению длины всей секущей на её внешнюю часть: $P(A) = AD \cdot AB$.

В нашей задаче:

• Для малой окружности, к которой проведена касательная AC, степень точки A равна $P_{малая}(A) = AC^2$.
• Для большой окружности, которую пересекает секущая AB, степень точки A равна $P_{большая}(A) = AD \cdot AB$.

2. Радикальная ось двух окружностей

Радикальная ось двух окружностей — это геометрическое место точек, степени которых относительно этих двух окружностей равны. Если две окружности пересекаются в двух точках (на рисунке это точки K и M), то их радикальной осью является прямая, проходящая через эти точки пересечения.

3. Вычисление

Из рисунка видно, что точка A лежит на прямой, проходящей через точки пересечения двух окружностей K и M. Это означает, что точка A находится на радикальной оси этих двух окружностей.

По свойству радикальной оси, степень точки A относительно малой окружности равна её степени относительно большой окружности:

$P_{малая}(A) = P_{большая}(A)$

Следовательно, мы можем приравнять выражения для степеней:

$AC^2 = AD \cdot AB$

По условию дано:

• $AD = 2$ см
• $DB = 16$ см

Сначала найдем длину всего отрезка секущей AB:

$AB = AD + DB = 2 + 16 = 18$ см

Теперь подставим известные значения в полученное ранее уравнение:

$AC^2 = 2 \cdot 18$

$AC^2 = 36$

Чтобы найти длину отрезка AC, извлечем квадратный корень из 36:

$AC = \sqrt{36} = 6$ см

Ответ: 6 см.