Номер 416, страница 191 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

416. На рисунке 392 $AM = 20$ см, $CM = 2MB$, отрезок $MD$ на 2 см меньше отрезка $CM$. Найдите длину отрезка $CD$.

Рис. 392

Для решения этой задачи используется свойство пересекающихся хорд в окружности. Согласно этому свойству, произведение длин отрезков, на которые точка пересечения делит одну хорду, равно произведению длин отрезков, на которые та же точка делит другую хорду. Для хорд $AB$ и $CD$, пересекающихся в точке $M$, это свойство записывается в виде формулы:

$AM \cdot MB = CM \cdot MD$

Из условия задачи нам даны следующие соотношения:

1. $AM = 20$ см

2. $CM = 2 \cdot MB$

3. $MD = CM - 2$ см

Чтобы решить задачу, выразим все неизвестные отрезки через одну переменную. Давайте обозначим длину отрезка $MB$ как $x$.

Тогда $MB = x$.

Используя второе условие, выразим $CM$ через $x$:

$CM = 2 \cdot MB = 2x$

Теперь, используя третье условие, выразим $MD$ через $x$:

$MD = CM - 2 = 2x - 2$

Подставим полученные выражения в основную формулу свойства пересекающихся хорд:

$20 \cdot x = (2x) \cdot (2x - 2)$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$20x = 4x^2 - 4x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$4x^2 - 4x - 20x = 0$

$4x^2 - 24x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x - 6) = 0$

Это уравнение имеет два решения: $4x = 0 \implies x = 0$ и $x - 6 = 0 \implies x = 6$.

Поскольку $x$ представляет собой длину отрезка $MB$, она не может быть равна нулю. Следовательно, единственно верное решение — $x = 6$ см.

Мы нашли, что $MB = 6$ см. Теперь мы можем найти длины отрезков $CM$ и $MD$:

$CM = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см

$MD = 2x - 2 = 2 \cdot 6 - 2 = 12 - 2 = 10$ см

Длина отрезка $CD$ равна сумме длин его частей $CM$ и $MD$:

$CD = CM + MD = 12 + 10 = 22$ см

Ответ: 22 см.