Номер 409, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

409. Известно, что $\stackrel{\frown}{AD} = 120^{\circ}$, $\angle BAC = 32^{\circ}$ (рис. 380). Найдите угол между прямыми:

а) $AC$ и $BD$;

б) $AB$ и $DC$.

Рис. 380

а) AC и BD

Угол между прямыми AC и BD — это угол, образованный при пересечении хорд AC и BD. Обозначим точку их пересечения как K. Углом между прямыми принято считать меньший из образовавшихся смежных углов. Найдем один из углов при пересечении, например, $\angle AKD$.

Величина угла между пересекающимися хордами равна полусумме градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Для угла $\angle AKD$ и вертикального ему угла $\angle BKC$ это дуги AD и BC. Формула имеет вид:$$ \angle AKD = \frac{1}{2}(\cup AD + \cup BC) $$

По условию задачи, градусная мера дуги AD равна $120^\circ$: $\cup AD = 120^\circ$.

Угол $\angle BAC$ является вписанным углом, который опирается на дугу BC. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. По условию $\angle BAC = 32^\circ$, следовательно, можем найти градусную меру дуги BC:$$ \cup BC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ $$

Теперь мы можем вычислить угол $\angle AKD$, подставив известные значения дуг в формулу:$$ \angle AKD = \frac{1}{2}(120^\circ + 64^\circ) = \frac{1}{2}(184^\circ) = 92^\circ $$

Угол $\angle AKB$ является смежным с углом $\angle AKD$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$ \angle AKB = 180^\circ - \angle AKD = 180^\circ - 92^\circ = 88^\circ $$

Наименьший из двух углов, образованных при пересечении прямых, равен $88^\circ$. Следовательно, угол между прямыми AC и BD равен $88^\circ$.

Ответ: $88^\circ$

б) AB и DC

Прямые AB и DC являются секущими к окружности, которые, судя по расположению точек на рисунке, пересекаются вне ее. Обозначим точку их пересечения как P.

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, которые эти секущие высекают на окружности. В данном случае это дуги AD и BC. Формула для вычисления угла $\angle P$:$$ \angle P = \frac{1}{2}(\cup AD - \cup BC) $$

Градусные меры этих дуг нам известны из условия и предыдущего пункта: $\cup AD = 120^\circ$ и $\cup BC = 64^\circ$.

Подставляем известные значения в формулу и находим искомый угол:$$ \angle P = \frac{1}{2}(120^\circ - 64^\circ) = \frac{1}{2}(56^\circ) = 28^\circ $$

Ответ: $28^\circ$