Номер 413, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

413. Найдите геометрическое место вершин прямых углов, стороны которых проходят через две данные точки.

Пусть даны две различные точки, назовем их $A$ и $B$. Мы ищем геометрическое место точек $P$, для которых угол $\angle APB$ является прямым, то есть $\angle APB = 90^\circ$.

Эта задача напрямую связана с известным свойством вписанных углов в окружности.

1. Докажем, что любая точка на окружности с диаметром AB (кроме A и B) удовлетворяет условию.

Рассмотрим окружность, построенную на отрезке $AB$ как на диаметре. Пусть $O$ — центр этой окружности, который является серединой отрезка $AB$. Возьмем любую точку $P$ на этой окружности, отличную от $A$ и $B$.

Рассмотрим треугольник $\triangle APB$. Он вписан в окружность, и одна из его сторон, $AB$, является диаметром. Угол $\angle APB$ — это вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$. По теореме о вписанном угле, угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, $\angle APB = 90^\circ$.

Таким образом, любая точка на окружности с диаметром $AB$ (кроме самих точек $A$ и $B$) является вершиной прямого угла, стороны которого проходят через точки $A$ и $B$.

2. Докажем, что любая точка, удовлетворяющая условию, лежит на этой окружности.

Пусть $P$ — некоторая точка, такая что $\angle APB = 90^\circ$. Это означает, что треугольник $\triangle APB$ — прямоугольный, с гипотенузой $AB$.

В любом прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Пусть $O$ — середина гипотенузы $AB$. Тогда расстояние от точки $O$ до всех трех вершин треугольника одинаково и равно радиусу описанной окружности: $$OA = OB = OP = R$$

Поскольку $O$ — середина $AB$, то радиус этой окружности $R = \frac{1}{2}AB$. Так как расстояние от точки $P$ до точки $O$ равно $\frac{1}{2}AB$, точка $P$ лежит на окружности с центром в точке $O$ (середине $AB$) и диаметром $AB$.

Сами точки $A$ и $B$ должны быть исключены из искомого множества, так как если вершина $P$ совпадает с точкой $A$ или $B$, то одна из сторон угла ($PA$ или $PB$) вырождается в точку, и угол не может быть сформирован.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, построенная на отрезке, соединяющем две данные точки, как на диаметре, за исключением этих двух данных точек.