Номер 410, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

410. AB — диаметр окружности.

Докажите, что:

а) $\angle AMB$ — тупой (рис. 381, а);

б) $\angle AMB$ — острый (рис. 381, б).

Рис. 381

a) Докажите, что ∠AMB — тупой (рис. 381, а)

Пусть точка M лежит внутри окружности с диаметром AB.

1. Проведем луч AM до пересечения с окружностью в точке C. Соединим точки C и B.

2. Рассмотрим треугольник $ΔBCM$. Угол $∠AMB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине M (так как он образован стороной BM и продолжением стороны CM за точку M).

3. По свойству внешнего угла треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$∠AMB = ∠MCB + ∠MBC$

4. Угол $∠ACB$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр AB. Следовательно, его величина равна $90°$.

5. Так как точки A, M, C лежат на одной прямой, то $∠MCB$ — это тот же самый угол, что и $∠ACB$. Таким образом, $∠MCB = 90°$.

6. Подставим это значение в выражение для $∠AMB$:

$∠AMB = 90° + ∠MBC$

7. Поскольку $∠MBC$ является углом треугольника, его градусная мера больше нуля ($∠MBC > 0°$). Следовательно, $∠AMB$ будет больше $90°$.

Таким образом, доказано, что угол $∠AMB$ — тупой.

Ответ: Доказано.

б) Докажите, что ∠AMB — острый (рис. 381, б)

Пусть точка M лежит вне окружности с диаметром AB.

1. Проведем отрезок AM, который пересечет окружность в точке D. Соединим точки D и B.

2. Рассмотрим треугольник $ΔBDM$. Угол $∠ADB$ является внешним углом для этого треугольника при вершине D.

3. По свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$∠ADB = ∠DMB + ∠MBD$

4. Угол $∠ADB$ — это вписанный угол, который опирается на диаметр AB. Следовательно, его величина равна $90°$.

5. Угол $∠DMB$ — это тот же угол, что и $∠AMB$. Угол $∠MBD$ — тот же угол, что и $∠ABD$. Подставим известные величины в равенство:

$90° = ∠AMB + ∠ABD$

6. Выразим отсюда искомый угол $∠AMB$:

$∠AMB = 90° - ∠ABD$

7. Поскольку $∠ABD$ является углом треугольника, его градусная мера больше нуля ($∠ABD > 0°$, если M не лежит на прямой AB). Следовательно, $∠AMB$ будет меньше $90°$.

Таким образом, доказано, что угол $∠AMB$ — острый.

Ответ: Доказано.