Номер 408, страница 188 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

408. Если $\alpha + \beta + \gamma = 130^\circ$ (рис. 379), то чему равна величина угла $\beta$?

Рис. 379

Для решения данной задачи необходимо установить связь между углами $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, используя свойства вписанных углов и сумму углов треугольника.

Рассмотрим треугольник $ADK$. Сумма его внутренних углов составляет $180^\circ$:

$\angle KAD + \angle KDA + \angle AKD = 180^\circ$

Теперь выразим каждый из этих углов через данные в условии $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$:

1. Угол $\angle AKD$ по условию равен $\beta$.

2. Угол $\angle KDA$ — это угол $\angle ADB$, который по условию равен $\alpha$.

3. Угол $\angle KAD$ — это вписанный угол $\angle CAD$. Он опирается на дугу $CD$. На эту же дугу опирается и другой вписанный угол, $\angle CBD$, который по условию равен $\gamma$. Согласно свойству вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, они равны. Следовательно, $\angle CAD = \angle CBD = \gamma$.

Подставим полученные выражения в формулу суммы углов треугольника $ADK$:

$\gamma + \alpha + \beta = 180^\circ$

Таким образом, мы приходим к выводу, что для данной геометрической конфигурации сумма углов $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ всегда равна $180^\circ$.

В условии задачи дано, что $\alpha + \beta + \gamma = 130^\circ$. Это утверждение противоречит выведенному геометрическому свойству. Такое расхождение указывает на вероятную опечатку в условии задачи.

Наиболее правдоподобное предположение состоит в том, что сумма $130^\circ$ относится только к двум углам, $\alpha$ и $\gamma$. То есть, верное условие должно было звучать как "$\alpha + \gamma = 130^\circ$".

Решим задачу, исходя из этого предположения.

Используем выведенное нами тождество $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, которое можно записать как $(\alpha + \gamma) + \beta = 180^\circ$.

Подставим в него предполагаемое значение суммы $\alpha + \gamma$:

$130^\circ + \beta = 180^\circ$

Отсюда легко найти величину угла $\beta$:

$\beta = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$

Ответ: $50^\circ$