Номер 402, страница 187 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

402. $AB$ и $AC$ — секущие, $O$ — центр окружности. Найдите:

а) $\angle A$ (рис. 376, а);

б) $\angle A$ (рис. 376, б);

в) градусную меру дуги $MK$ (рис. 376, в).

Рис. 376

а)

Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне окружности, равен половине разности градусных мер большей и меньшей дуг, заключенных между его сторонами. В данном случае секущие AB и AC пересекаются в точке A. Они высекают на окружности большую дугу BC и меньшую дугу MK.

По условию, градусная мера дуги BC (большей дуги) равна $130°$, а градусная мера дуги MK (меньшей дуги) равна $50°$.

Воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя секущими:

$∠A = \frac{1}{2} (\text{дуга } BC - \text{дуга } MK)$

Подставим известные значения в формулу:

$∠A = \frac{1}{2} (130° - 50°) = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°$

Ответ: $40°$.

б)

В этой задаче нам дана градусная мера большей дуги BC, которая равна $115°$, и вписанный угол $∠MCK$, равный $20°$. Необходимо найти угол A.

Сначала найдем градусную меру меньшей дуги MK. Вписанный угол $∠MCK$ опирается на дугу MK. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

$∠MCK = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } MK$

Отсюда мы можем выразить градусную меру дуги MK:

$\text{дуга } MK = 2 \cdot ∠MCK = 2 \cdot 20° = 40°$

Теперь, зная градусные меры обеих дуг (большей дуги BC = $115°$ и меньшей дуги MK = $40°$), мы можем найти угол A, используя ту же формулу, что и в пункте а):

$∠A = \frac{1}{2} (\text{дуга } BC - \text{дуга } MK)$

Подставим значения:

$∠A = \frac{1}{2} (115° - 40°) = \frac{1}{2} \cdot 75° = 37.5°$

Ответ: $37.5°$.

в)

В данном случае нам известен угол A, равный $50°$. Из рисунка видно, что хорда BC проходит через центр окружности O, следовательно, BC является диаметром.

Дуга, стягиваемая диаметром, является полуокружностью, и ее градусная мера равна $180°$. Таким образом, градусная мера дуги BC равна $180°$.

Нам необходимо найти градусную меру меньшей дуги MK. Используем формулу для угла между двумя секущими:

$∠A = \frac{1}{2} (\text{дуга } BC - \text{дуга } MK)$

Подставим известные значения в эту формулу:

$50° = \frac{1}{2} (180° - \text{дуга } MK)$

Теперь решим это уравнение относительно дуги MK:

Умножим обе части уравнения на 2:

$100° = 180° - \text{дуга } MK$

Выразим дугу MK:

$\text{дуга } MK = 180° - 100°$

$\text{дуга } MK = 80°$

Ответ: $80°$.