Номер 400, страница 182 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

400. Найдите геометрическое место середин хорд окружности, проведенных из одной точки окружности.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $A$ — фиксированная точка на этой окружности, из которой проводятся хорды.

Рассмотрим любую хорду $AB$, где $B$ — произвольная точка на окружности $\omega$. Пусть $M$ — середина этой хорды. Задача состоит в том, чтобы найти геометрическое место всех таких точек $M$.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды, точками $A$ и $B$. Мы получим треугольник $\triangle OAB$. Поскольку $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности, их длины равны: $OA = OB = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ — равнобедренный с основанием $AB$.

По условию, точка $M$ является серединой хорды $AB$. Значит, отрезок $OM$ является медианой, проведенной к основанию равнобедренного треугольника $\triangle OAB$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Это означает, что отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $AB$. Следовательно, угол $\angle OMA$ является прямым, то есть $\angle OMA = 90^\circ$.

Таким образом, для любой хорды $AB$ ее середина $M$ является вершиной прямоугольного треугольника $\triangle OMA$ с гипотенузой $OA$.

Геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, представляет собой окружность, построенную на этом отрезке как на диаметре. В нашем случае таким отрезком является радиус $OA$ исходной окружности.

Рассмотрим два предельных положения хорды:

1. Когда точка $B$ стремится к точке $A$, хорда $AB$ стягивается в точку $A$. Ее середина $M$ также совпадает с точкой $A$. Точка $A$ принадлежит искомой окружности, так как она является одним из концов диаметра $OA$.

2. Когда точка $B$ является диаметрально противоположной точке $A$, хорда $AB$ становится диаметром исходной окружности. Ее середина $M$ совпадает с центром $O$. Точка $O$ также принадлежит искомой окружности, так как является вторым концом диаметра $OA$.

Следовательно, все середины хорд, проведенных из точки $A$, лежат на окружности, диаметром которой служит радиус $OA$. Центр этой окружности — середина отрезка $OA$, а ее радиус равен $R/2$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это окружность, построенная на радиусе исходной окружности, проведенном в данную точку, как на диаметре.