Номер 420, страница 192 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

420. На рисунке 395 $AC$ — касательная, $C$ — точка касания, $AC = 3$ см, $AB$ — секущая, $BD = 8$ см. Найдите длину отрезка $AD$.

Рис. 395

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Теорема утверждает, что квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длины всей секущей на длину ее внешней части.

В данном случае $AC$ — касательная, а $AB$ — секущая. Точка $A$ — общая точка, из которой они проведены. Согласно теореме, мы можем записать следующее равенство: $AC^2 = AB \cdot AD$

Из условия задачи нам известны следующие величины:

• Длина касательной $AC = 3$ см.
• Длина отрезка секущей внутри окружности (хорды) $BD = 8$ см.

Обозначим искомую длину отрезка $AD$ (внешней части секущей) как $x$. $AD = x$

Длина всей секущей $AB$ является суммой длин ее внешней части $AD$ и внутренней части $BD$: $AB = AD + BD = x + 8$

Теперь подставим все известные значения в исходную формулу: $3^2 = (x + 8) \cdot x$

Получаем квадратное уравнение: $9 = x^2 + 8x$ $x^2 + 8x - 9 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, корень $x_2 = -9$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, длина отрезка $AD$ равна 1 см.

Ответ: 1 см.