Номер 390, страница 181 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

390. а) Докажите, что дуга окружности, равная $60^\circ$, стягивается хордой, равной радиусу окружности.

б) Докажите, что вписанный угол, равный $30^\circ$, опирается на хорду, равную радиусу окружности.

а) Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть дуга $AB$ этой окружности равна $60^\circ$. Хорда, стягивающая эту дугу, — это отрезок $AB$. Рассмотрим треугольник $AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, следовательно, $OA = OB = R$. Это означает, что треугольник $AOB$ — равнобедренный. Центральный угол, опирающийся на дугу, равен градусной мере этой дуги. Значит, центральный угол $\angle AOB$ равен градусной мере дуги $AB$, то есть $\angle AOB = 60^\circ$. Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $AOB$ имеем: $\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ$. Поскольку $\angle OAB = \angle OBA$ и $\angle AOB = 60^\circ$, получаем: $2 \cdot \angle OAB + 60^\circ = 180^\circ$ $2 \cdot \angle OAB = 120^\circ$ $\angle OAB = 60^\circ$ Таким образом, все углы треугольника $AOB$ равны $60^\circ$ ($\angle OAB = \angle OBA = \angle AOB = 60^\circ$), что означает, что треугольник $AOB$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $AB = OA = OB = R$. Следовательно, хорда $AB$, стягивающая дугу в $60^\circ$, равна радиусу окружности.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Пусть в окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R$ есть вписанный угол, равный $30^\circ$. Пусть это будет угол $\angle ACB$, где $A$, $B$ и $C$ — точки на окружности. Этот угол опирается на хорду $AB$. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. В данном случае вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Следовательно, градусная мера дуги $AB$ равна удвоенной величине угла $\angle ACB$: Градусная мера дуги $AB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$. Хорда $AB$ стягивает дугу в $60^\circ$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту же дугу, равен ее градусной мере: $\angle AOB = 60^\circ$. Рассмотрим треугольник $AOB$. Его стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. Следовательно, треугольник $AOB$ — равнобедренный. Так как это равнобедренный треугольник с углом при вершине $60^\circ$, то он является равносторонним (углы при основании равны $(180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ$). В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AB = OA = OB = R$. Таким образом, вписанный угол, равный $30^\circ$, опирается на хорду $AB$, которая равна радиусу окружности.
Ответ: Что и требовалось доказать.