Номер 382, страница 180 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

382. Радиус окружности равен 24 см. Найдите длину хорды, которая стягивает дугу, содержащую:

а) $60^\circ$;

б) $90^\circ$;

в) $180^\circ$;

г) $300^\circ$.

Для нахождения длины хорды $L$ в окружности радиусом $R$, которая стягивает дугу с градусной мерой $\alpha$, можно использовать формулу, вытекающую из теоремы косинусов для равнобедренного треугольника, образованного двумя радиусами и хордой. Более простой способ — разделить этот треугольник высотой на два прямоугольных треугольника. В этом случае длина хорды вычисляется по формуле:

$L = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$

где $R = 24$ см — радиус окружности.

а) 60°;
Подставляем в формулу значение центрального угла $\alpha = 60°$.
$L = 2 \cdot 24 \cdot \sin(\frac{60°}{2}) = 48 \cdot \sin(30°)$.
Поскольку значение синуса 30° равно $\frac{1}{2}$, получаем:
$L = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.
Можно также заметить, что треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, при центральном угле в 60° является равносторонним, поэтому длина хорды равна длине радиуса.
Ответ: 24 см.

б) 90°;
Подставляем в формулу значение центрального угла $\alpha = 90°$.
$L = 2 \cdot 24 \cdot \sin(\frac{90°}{2}) = 48 \cdot \sin(45°)$.
Поскольку значение синуса 45° равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:
$L = 48 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}$ см.
В этом случае треугольник, образованный радиусами и хордой, является прямоугольным равнобедренным. Хорда является его гипотенузой, и по теореме Пифагора её длина равна $L = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2} = 24\sqrt{2}$ см.
Ответ: $24\sqrt{2}$ см.

в) 180°;
Подставляем в формулу значение центрального угла $\alpha = 180°$.
$L = 2 \cdot 24 \cdot \sin(\frac{180°}{2}) = 48 \cdot \sin(90°)$.
Поскольку значение синуса 90° равно $1$, получаем:
$L = 48 \cdot 1 = 48$ см.
Хорда, стягивающая дугу в 180°, является диаметром окружности, длина которого всегда равна двум радиусам: $D = 2R = 2 \cdot 24 = 48$ см.
Ответ: 48 см.

г) 300°;
Хорда стягивает одновременно две дуги, которые в сумме дают 360°. Если большая дуга равна 300°, то меньшая дуга, стягиваемая той же хордой, равна $360° - 300° = 60°$. Длина хорды определяется центральным углом, соответствующим меньшей дуге, то есть 60°. Таким образом, эта задача идентична пункту а).
$L = 2 \cdot 24 \cdot \sin(\frac{60°}{2}) = 48 \cdot \sin(30°) = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.
Этот же результат можно получить, если использовать в формуле угол 300°:
$L = 2 \cdot 24 \cdot \sin(\frac{300°}{2}) = 48 \cdot \sin(150°)$.
Используя формулу приведения $\sin(180° - x) = \sin(x)$, имеем $\sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = \frac{1}{2}$.
$L = 48 \cdot \frac{1}{2} = 24$ см.
Ответ: 24 см.