Номер 371, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

371. Даны две равные пересекающиеся окружности с радиусом 5 м. Длина их общей хорды AB равна 8 м. Найдите расстояние между центрами окружностей.

Пусть центры двух равных пересекающихся окружностей будут в точках $O_1$ и $O_2$, а точки их пересечения — $A$ и $B$. Тогда отрезок $AB$ является их общей хордой. По условию, радиусы окружностей равны $R = 5$ м, а длина хорды $AB = 8$ м. Требуется найти расстояние между центрами $O_1O_2$.

Прямая, соединяющая центры двух пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде и делит эту хорду пополам. Обозначим точку пересечения отрезков $O_1O_2$ и $AB$ как $M$.

Исходя из этого свойства, мы имеем два факта: 1. Отрезок $O_1O_2$ перпендикулярен хорде $AB$, то есть $\angle O_1MA = 90^\circ$. 2. Точка $M$ является серединой хорды $AB$.

Найдем длину отрезка $AM$:
$AM = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ м.

Рассмотрим треугольник $\triangle O_1AM$. Этот треугольник прямоугольный, так как $\angle O_1MA = 90^\circ$. Гипотенуза $O_1A$ является радиусом первой окружности, поэтому $O_1A = R = 5$ м. Катет $AM$ равен 4 м. Мы можем найти длину второго катета $O_1M$ с помощью теоремы Пифагора:

$O_1A^2 = AM^2 + O_1M^2$
$5^2 = 4^2 + O_1M^2$
$25 = 16 + O_1M^2$
$O_1M^2 = 25 - 16$
$O_1M^2 = 9$
$O_1M = \sqrt{9} = 3$ м.

Поскольку окружности равны по условию, они симметричны относительно общей хорды $AB$. Это означает, что расстояние от центра второй окружности до хорды $AB$ такое же, как и от центра первой. То есть, $O_2M = O_1M = 3$ м. Это также можно показать, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle O_2AM$, который равен $\triangle O_1AM$ по гипотенузе и катету ($O_2A = 5$ м, $AM = 4$ м).

Расстояние между центрами окружностей $O_1O_2$ равно сумме длин отрезков $O_1M$ и $O_2M$:
$O_1O_2 = O_1M + O_2M = 3 + 3 = 6$ м.

Ответ: 6 м.