Номер 366, страница 172 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

366. Даны две окружности с радиусами $R$ и $r$ и расстоянием $d$ между их центрами. Определите, как расположены окружности относительно друг друга, если:

а) $R = 12 \text{ см}, r = 5 \text{ см}, d = 10 \text{ см};$

б) $R = 36 \text{ см}, r = 12 \text{ см}, d = 48 \text{ см};$

в) $R = 45 \text{ см}, r = 15 \text{ см}, d = 70 \text{ см}.$

Для определения взаимного расположения двух окружностей с радиусами $R$ и $r$ (примем, что $R$ — больший или равный радиус) и расстоянием между их центрами $d$, необходимо сравнить значение $d$ с суммой $R+r$ и разностью $R-r$ радиусов. Возможны следующие случаи:

• Если расстояние между центрами больше суммы радиусов ($d > R+r$), то окружности не имеют общих точек и расположены одна вне другой.
• Если расстояние между центрами равно сумме радиусов ($d = R+r$), то окружности касаются внешним образом в одной точке.
• Если расстояние между центрами меньше суммы радиусов, но больше их разности ($R-r < d < R+r$), то окружности пересекаются в двух точках.
• Если расстояние между центрами равно разности радиусов ($d = R-r$), то окружности касаются внутренним образом в одной точке.
• Если расстояние между центрами меньше разности радиусов ($d < R-r$), то одна окружность расположена внутри другой, и они не имеют общих точек.

Применим эти правила к каждому случаю.

а) Дано: $R = 12$ см, $r = 5$ см, $d = 10$ см.

1. Вычислим сумму радиусов:
$R + r = 12 + 5 = 17$ см.

2. Вычислим разность радиусов:
$R - r = 12 - 5 = 7$ см.

3. Сравним расстояние между центрами $d$ с полученными значениями. Мы имеем $d=10$ см. Так как $7 < 10 < 17$, выполняется неравенство $R - r < d < R + r$. Это означает, что окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: окружности пересекаются.

б) Дано: $R = 36$ см, $r = 12$ см, $d = 48$ см.

1. Вычислим сумму радиусов:
$R + r = 36 + 12 = 48$ см.

2. Сравним расстояние между центрами $d$ с суммой радиусов. Мы имеем $d = 48$ см, и сумма радиусов $R+r$ также равна 48 см. Выполняется равенство $d = R + r$. Это означает, что окружности касаются внешним образом.

Ответ: окружности касаются внешним образом.

в) Дано: $R = 45$ см, $r = 15$ см, $d = 70$ см.

1. Вычислим сумму радиусов:
$R + r = 45 + 15 = 60$ см.

2. Сравним расстояние между центрами $d$ с суммой радиусов. Мы имеем $d = 70$ см, а сумма радиусов $R+r = 60$ см. Так как $70 > 60$, выполняется неравенство $d > R + r$. Это означает, что окружности не имеют общих точек и расположены одна вне другой.

Ответ: окружности не пересекаются (расположены одна вне другой).