Номер 363, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

363. Постройте при помощи циркуля и линейки окружность заданного радиуса $m$, которая касается данной прямой $l$ в отмеченной на ней точке $K$.

Для построения искомой окружности необходимо определить положение её центра. Пусть $O$ — центр искомой окружности, $m$ — её заданный радиус, $l$ — данная прямая, а $K$ — точка касания на этой прямой.

Согласно свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен самой касательной. Это означает, что центр искомой окружности $O$ должен лежать на прямой, перпендикулярной прямой $l$ и проходящей через точку $K$. Кроме того, расстояние от центра $O$ до точки $K$ должно быть равно заданному радиусу $m$.

На основе этого анализа можно составить следующий алгоритм построения:

1. Построение перпендикуляра к прямой $l$ в точке $K$. С помощью циркуля и линейки проводим через точку $K$ прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$. Для этого:
   • Устанавливаем острие циркуля в точку $K$ и проводим дугу произвольного радиуса, которая пересечет прямую $l$ в двух точках, назовем их $A$ и $B$.
   • Из точек $A$ и $B$ как из центров проводим две дуги одинаковым радиусом (большим, чем расстояние $AK$).
   • Через точку пересечения этих дуг и точку $K$ с помощью линейки проводим прямую $p$. Эта прямая будет перпендикулярна прямой $l$.
2. Нахождение центра окружности $O$. Измеряем циркулем заданный отрезок-радиус $m$. Устанавливаем острие циркуля в точку $K$ и на перпендикуляре $p$ делаем засечку. Полученная точка $O$ является центром искомой окружности. (Заметим, что можно построить две такие точки, по одной с каждой стороны от прямой $l$. Для решения задачи достаточно найти одну).
3. Построение искомой окружности. Устанавливаем острие циркуля в найденную точку $O$ и, не меняя раствора циркуля (равного $m$), проводим окружность.

Построенная окружность имеет радиус $m$ и касается прямой $l$ в точке $K$, так как её центр $O$ лежит на перпендикуляре к прямой $l$, проведенном через точку $K$, и расстояние от центра до прямой равно радиусу ($OK = m$).

Ответ: Сначала в точке $K$ строится перпендикуляр к прямой $l$. Затем на этом перпендикуляре от точки $K$ откладывается отрезок, равный радиусу $m$, — так находится центр окружности $O$. Наконец, строится окружность с центром в точке $O$ и радиусом $m$.