Номер 360, страница 167 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

360. Из точки $A$ к окружности с центром в точке $O$ проведены секущая и касательная $AB$ (где $B$ — точка касания). Расстояние от центра окружности до секущей равно 6 см, длина отрезка секущей внутри окружности равна 16 см, $AO = 26$ см. Найдите длину отрезка $AB$.

1. Нахождение радиуса окружности.

Пусть секущая, проведенная из точки A, пересекает окружность в точках C и D. Тогда отрезок секущей внутри окружности — это хорда CD. По условию, длина этой хорды $CD = 16$ см.

Расстояние от центра окружности O до секущей — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на хорду CD. Обозначим основание этого перпендикуляра как H. Таким образом, $OH = 6$ см и $OH \perp CD$.

По свойству хорды, перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам. Следовательно: $CH = HD = \frac{CD}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHD$ (угол $\angle OHD = 90^\circ$). Катеты этого треугольника — OH и HD, а гипотенуза — OD, которая является радиусом окружности (R). По теореме Пифагора: $OD^2 = OH^2 + HD^2$ $R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $R = \sqrt{100} = 10$ см.

2. Нахождение длины касательной AB.

Касательная AB проведена к окружности в точке B. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OB \perp AB$.

Это означает, что треугольник $\triangle ABO$ является прямоугольным с прямым углом при вершине B. В этом треугольнике:

• $AO$ — гипотенуза, по условию $AO = 26$ см.
• $OB$ — катет, являющийся радиусом окружности. Мы нашли, что $OB = R = 10$ см.
• $AB$ — второй катет, длину которого нужно найти.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle ABO$: $AO^2 = AB^2 + OB^2$

Выразим $AB^2$ и подставим известные значения: $AB^2 = AO^2 - OB^2$ $AB^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576$

Теперь найдем длину AB: $AB = \sqrt{576} = 24$ см.

Ответ: 24 см.