Номер 354, страница 166 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

354. На рисунках 332, а), б) AB — касательная к окружности, B — точка касания, O — центр окружности. Найдите:

а) $\angle BOC$, если $OC = 3\sqrt{3}$ см, $AB = 3$ см (рис. 332, а);

б) $AC$, если $AB = 12$ см, $OC = 9$ см (рис. 332, б).

Рис. 332

а)

Поскольку AB — касательная к окружности в точке B, а OB — радиус, проведенный в точку касания, то по свойству касательной, радиус OB перпендикулярен касательной AB. Следовательно, треугольник OBA является прямоугольным с прямым углом $\angle OBA = 90^\circ$.

OC является радиусом окружности, поэтому его длина равна длине радиуса OB. По условию дано, что $OC = 3\sqrt{3}$ см, значит, и $OB = 3\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. Нам известны длины его катетов: $OB = 3\sqrt{3}$ см и $AB = 3$ см. Мы можем найти тангенс угла $\angle AOB$, который противолежит катету AB:

$\tan(\angle AOB) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AB}{OB} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{1}{\sqrt{3}}$, составляет $30^\circ$. Таким образом, $\angle AOB = 30^\circ$.

Из рисунка 332, а) видно, что точки C, O, A лежат на одной прямой, образуя развернутый угол $\angle COA$, который равен $180^\circ$. Этот угол состоит из двух смежных углов: $\angle BOC$ и $\angle AOB$.

Следовательно, $\angle BOC + \angle AOB = 180^\circ$.

Отсюда находим искомый угол $\angle BOC$:
$\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: $150^\circ$.

б)

Так как AB — касательная к окружности в точке B, а OB — радиус, проведенный в точку касания, то $\angle OBA = 90^\circ$. Таким образом, треугольник OBA является прямоугольным.

OC и OB являются радиусами одной и той же окружности, поэтому их длины равны. По условию $OC = 9$ см, следовательно, $OB = 9$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OBA. Мы знаем длины его катетов: $OB = 9$ см и $AB = 12$ см. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы OA:

$OA^2 = OB^2 + AB^2$
$OA^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
$OA = \sqrt{225} = 15$ см.

Из рисунка 332, б) видно, что точка C лежит на отрезке OA. Это означает, что длина отрезка OA равна сумме длин отрезков AC и OC:

$OA = AC + OC$

Чтобы найти длину AC, вычтем длину OC из длины OA:
$AC = OA - OC = 15 - 9 = 6$ см.

Ответ: 6 см.