Номер 355, страница 166 - гдз по геометрии 8 класс учебник Казаков, Казакова

355. К окружности проведены касательная $AB$ ($B$ — точка касания) и секущая $AC$, проходящая через центр $O$ окружности, $\angle A = 60^{\circ}$, $AB = 4\sqrt{3}$ см. Найдите диаметр окружности (рис. 333).

Рис. 333

Рассмотрим треугольник $OAB$, образованный центром окружности $O$, точкой касания $B$ и точкой $A$ на секущей.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$. Следовательно, угол $\angle OBA$ является прямым, и $\angle OBA = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $OAB$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известны:

• катет $AB = 4\sqrt{3}$ см (длина отрезка касательной);
• острый угол $\angle OAB = 60^\circ$;
• катет $OB$ — это радиус окружности, который нам нужно найти. Обозначим его как $r$.

Для нахождения радиуса $OB$ воспользуемся тригонометрическим соотношением в прямоугольном треугольнике. Тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:
$\text{tg}(\angle OAB) = \frac{OB}{AB}$

Подставим известные значения в формулу:
$\text{tg}(60^\circ) = \frac{r}{4\sqrt{3}}$

Значение тангенса 60 градусов равно $\sqrt{3}$. Получаем уравнение:
$\sqrt{3} = \frac{r}{4\sqrt{3}}$

Выразим из этого уравнения радиус $r$:
$r = 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 4 \cdot (\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$ см.

Мы нашли радиус окружности. Диаметр $d$ окружности равен двум радиусам:
$d = 2r = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Ответ: 24 см.